¿Ejemplos de bijections de $\mathbb Z\to\mathbb Z$ tales que su suma es un bijection?

Question

¿Cuáles son algunos ejemplos sencillos de funciones $f,g\colon \mathbb Z\to\mathbb Z$ cuales son bijective y su suma es también bijective?

A menos que me falta algo, no es difícil mostrar que tales funciones existen por inducción. (Simplemente el fin de $\mathbb Z=\{z_n; n=0,1,2,\dots\}$ en alguna manera. Y podemos definir $f$, $g$, $h$ por la inducción de tal manera que nos aseguremos de que después de $n$-ésimo paso: a) $f$ $g$ se definen para los enteros de algunos de $A_n$; b) $f$, $g$ y $h=f+g$ son inyectiva en a $A_n$; c) $z_n\in A_n$; d) $z_n$ pertenece a $f[A_n]$, $g[A_n]$, $h[A_n]$. Si es necesario, puedo intentar hacer de este el más preciso y el post inductivo de construcción en una respuesta; por supuesto, si alguien quiere publicar una respuesta, usted es más que bienvenido a hacerlo. Especialmente si usted puede sugerir alguna forma más elegante de lo que he esbozado aquí.)

Pero tengo dudas de que hay un bijection dada por una fórmula simple. (Aunque tengo que admitir que las palabras "simple fórmula" son más bien vagas.)

Así, como una pregunta adicional, ¿hay ejemplo de bijections $f$, $g$ tal que $f+g$ es también bijection, y estas funciones son "nice"? (Para algunos razonable significado de la palabra "agradable".) O puede que nos muestran que este ejemplo no se puede encontrar si nos restringimos $f$, $g$ para algunos razonablemente se comportó de una clase de funciones?

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Básicamente la motivación para esta pregunta proviene de un curso que estoy TA-ing. Como un ejercicio, para ayudar a que las personas se familiaricen con el concepto de bijection, a los estudiantes se les pidió que encontrar un ejemplo de dos bijections de $\mathbb Z$ $\mathbb Z$tales que su suma no es un bijection. Un colega, que también es TA en el mismo curso, me preguntó si me pueden pensar de ejemplo donde la suma es bijection, ya que para la mayoría de los ejemplos naturales que uno normalmente piensa (como $x\mapsto x+d$ o $x\mapsto -x+d'$) nunca se obtiene un bijection.

Answer 1

Cualquier bijection $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ se puede descomponer como suma, creo. Voy a hacer un geométrica/visual argumento de esta.

Podemos demostrar que $\text{id}: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ puede ser escrito $f + g$ para algunos bijections $f, g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$. Por la precomposición $f + g = \text{id}$ con cualquier bijection $h$, esto demuestra que el reclamo para todos los $h$.

Podemos reformular el problema como sigue: considerar el entero entramado $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ en el avión, y dibujar en todas las líneas de $x = n$ $y = m$ a través de este entramado de $m, n \in \mathbb{Z}$. Dibujar también en las líneas de $x + y = k$$k \in \mathbb{Z}$. Esto es suficiente para mostrar que podemos seleccionar los puntos en la red de tal manera que cada una de estas líneas contiene exactamente un punto seleccionado. De hecho, si $(x_k,y_k)$ es el punto en la línea de $x + y = k$, a continuación definimos $f(k) = x_k$$g(k) = y_k$.

Para ello, aplica el siguiente algoritmo. Hay tres tipos de líneas para tratar con: diagonal, vertical y horizontal. Deje $\ell \ge 0$.

• En el paso de $3 \ell$, encontramos a $k$ minimizar $|k|$ para los que no hay ningún punto en $x + y = k$ ha sido seleccionada; si usted tiene dos opciones, elegir al azar. A continuación, elija cualquier todavía disponible punto de $(m,n)$$m + n = k$. Borrar las líneas que $x = m$, $y = n$, $x + y = k$.
• En el paso de $3 \ell + 1$, encontramos a $m$ minimizar $|m|$ para los que no hay ningún punto en $x = m$ ha sido seleccionada; si usted tiene dos opciones, elegir al azar. A continuación, elija cualquier todavía disponible punto de $(m,n)$, con (digamos) $m + n = k$. Borrar las líneas que $x = m$, $y = n$, $x + y = k$.
• Lo mismo ocurre en el paso de $3 \ell + 2$, pero con líneas horizontales $y = n$.

Este algoritmo, evidentemente, no pierde las líneas (por cada paso, sólo hemos hecho un número finito de borrones, así que siempre hay una opción adecuada), y produce un conjunto de puntos como se desee, así que hemos terminado. Ideas similares se expresan en las soluciones aquí.