¿Cómo encontrar una geodésica en un elipsoide?

Question

Esta pregunta ha sido pedida dos veces pero no respondidas en este sitio, y realmente necesito entender este concepto.

Todo lo que quiero es, basado en 2 puntos arbitrarios A y B sobre un elipsoide determinado, encontrar la geodésica que contiene esos puntos 2.

Answer 1

Así que una geodésica es esencialmente la minimización de un funcional, es decir, una función de funciones. Ellos son el principal estudio de Cálculo de Variaciones. Ahora bien, si tenemos un funcional de la forma $$J[y]=\int_a^b F(x,y,y') \ dx$$ definido en el conjunto de las funciones de $y(x)$ que tienen primeras derivadas continuas en $[a,b]$, y de satisfacer las condiciones de frontera $y(a)=A$, $y(b)=B$, a continuación, una condición necesaria para $J[y]$ tener un extremo de una función de $y(x)$ es que el $y(x)$ satisfacer las Euler-Lagrange ecuación $$F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}=0.$$

En esencia, tenemos que resolver y que por encima de la ecuación diferencial.

Sin llegar más meollo de las cosas, la funcional que nos importa aquí es la longitud de arco de la integral.

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En primer lugar, supongamos que tenemos una superficie de $\mathcal{S}$ definido por la ecuación vectorial $$\vec{r}(u,v)=x(u,v) \hat{i} + y(u,v) \hat{j} + z(u,v) \hat{k}.$$ La geodésica de la curva de la mentira en la superficie de la $\mathcal{S}$ puede ser especificado por las ecuaciones $$u=u(t), \qquad v=v(t),$$ y se puede encontrar mediante la minimización de la longitud de arco integeral $$L=\int_{t_0}^{t_1} \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2+\left( \frac{dz}{dt} \right)^2} \ dt$$ Pero desde $x,y,z$ son cada una de las funciones de más de una variable, la regla de la cadena se va a convertir esta integral en una monstruosidad. Afortunadamente, es una monstruosidad con un bonito patrón ordenado de manera que podamos hacer las cosas se ven un poco más bonito.

Dejando $u'=\frac{du}{dt}$$v'=\frac{dv}{dt}$, el integeral anterior puede ser reescrito como

$$J[u,v]=\int_{t_0}^{t_1} \sqrt{Eu'^2+2Fu'v'+Gv'^2} \ dt,$$

donde $E$, $F$, y $G$ son los coeficientes de la primera fundamentales (quadradic) forma de la superficie, es decir, $$\begin{cases} \displaystyle{E=\vec{r}_u\cdot \vec{r}_u = \left( \frac{\partial x}{\partial u} \right) ^2 +\left( \frac{\partial y}{\partial u} \right) ^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial u} \right) ^2} \\ \\ \displaystyle{F=\vec{r}_u \cdot \vec{r}_v = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial v}}\\ \\ \displaystyle{G=\vec{r}_v\cdot \vec{r}_v=\left( \frac{\partial x}{\partial v} \right) ^2 +\left( \frac{\partial y}{\partial v} \right) ^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial v} \right) ^2}. \end{cases}$$

De Euler-Lagrange ecuación en este caso corresponde a las dos ecuaciones $$\displaystyle{ F_u- \frac{d}{dt} F_{u'} = 0,} \ \ \ \ \ \ \ \displaystyle{F_v- \frac{d}{dt} F_{v'} = 0,}$$ por lo tanto, obtenemos \begin{equation}\label{geodesiceq1} \frac{E_u u'^2+2F_u u' v' + G_u v'^2}{\sqrt{Eu'^2+2Fu'v'+Gv'^2}} - \frac{d}{dt} \frac{2(Eu'+Fv')}{\sqrt{Eu'^2+2Fu'v'+Gv'^2}} = 0, \end{equation} \begin{equation}\label{geodesiceq2} \frac{E_v u'^2+2F_v u' v' + G_v v'^2}{\sqrt{Eu'^2+2Fu'v'+Gv'^2}} - \frac{d}{dt} \frac{2(Fu'+Gv')}{\sqrt{Eu'^2+2Fu'v'+Gv'^2}} = 0. \end{equation}

Que son los dos ecuaciones diferenciales cuyas soluciones proporcionan la línea geodésica sobre la superficie de la $\mathcal{S}$.

Ahora permítanme señalar un caso importante. En el caso de que $E$ $G$ son funciones explícitas de $v$$F=0$, tenemos $$\frac{E_v+v'^2G_v}{2\sqrt{E+Gv'^2}}-\frac{d}{du} \left( \frac{Gv'}{\sqrt{E+Gv'^2}} \right) =0,$$ así $$ E_v + v'^2G_v - 2 G \sqrt{E+Gv'^2} \bigg[ \frac{v''}{\sqrt{E+Gv'^2}} + \left( \frac{1}{2} \right) \frac{v'(2Gv'v'')}{(E+Gv'^2)^{\frac{3}{2}}} \bigg] =0 $$ $$E_v + v'^2 G_v - 2Gv'' + \frac{2G^2v'^2v''}{E+Gv'^2} = 0 $$ \begin{equation} \frac{Gv'^2}{\sqrt{E+Gv'^2}} - \sqrt{E+Gv'^2} = c_1 \end{equation} que puede ser aún más útil señalando $\displaystyle{v'= \frac{dv}{du}}$, lo que nos da $$Gv'^2-(E+Gv'^2)=c_1 \sqrt{E+Gv'^2}$$ $$\left( - \frac{E}{c_1} \right) ^2 = E + Gv'^2$$ $$\frac{E^2-{c_1}^2E}{G{c_1}^2} = v'^2,$$ finalmente proporcionar \begin{equation} u={c_1} \int_{v_1=v(u_1)}^{v_2=v(u_2)} \sqrt{ \frac{G}{E^2-{c_1}^2E }} \ dv. \end{equation}

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Ahora vamos a hablar sobre el elipsoide. Un elipsoide con el semi-eje longitudes $a,b,c$ está dado por la ecuación vectorial $$\vec{r}(u,v)= \langle a \cos(u) \sin(v), b \sin(u) \sin(v), c \cos(v) \rangle$$ con $u \in [0,2\pi)$$v\in [0, \pi]$.

La primera forma fundamental de la elipsoide que me tristemente con la mano antes de que me di cuenta de que yo podría haber ido a Google para que es

$$\begin{cases} E= b^2 \cos^2(u) \sin^2(v)+a^2 \sin^2(u) \sin^2(v) \\ F= \left( b^2-a^2 \right) \sin(v) \cos(v) \sin(u) \cos(u)\\ G= \cos^2(v) \left[ (a^2-b^2) \cos^2(u)+b^2 \right] +c^2 \sin^2(v) \end{casos}$$

Ahora escucha, estoy realmente procrasinating el infierno fuera de una transferencia de ensayo por estar aquí buscando la forma fundamental de arriba es bastante preocupante, porque es muy elegante y ser fáciles de obtener y que supondría la solución de ese aterrador ecuación diferencial que he mencionado anteriormente.

Así que voy a dejar que $a=b$. Jugando con $c$ es elipsoide-y a mí me basta, y si quieres ir a por el pleno de la $a,b,c$ entonces serás mi invitado, jaja! Así que haciendo lo que me dijo, las cosas son mucho más bonita:

$$\begin{cases} E= a^2 \sin^2(v) \\ F= 0 \\ G=b^2 \cos^2(v) + c^2 \sin^2(v) \end{casos}$$

y aquí es donde podemos aplicar ese último comentario me hizo anteriormente con respecto a la primera forma fundamental de esta apariencia. De manera que tenemos de la línea geodésica sobre esta superficie dada por

$$u={c_1} \int \sqrt{ \frac{G}{E^2-{c_1}^2E }} \ dv = c_1 \int \sqrt{\frac{b^2 \cos^2(v) + c^2 \sin^2(v)}{a^4 \sin^4(v) - c_1^2 a^2 \sin^2(v)}} \ dv.$$

Ahora, en el caso de una esfera, la resolución de la integeral y reorganizar da un avión -- y que los aviones interesection con la esfera representa geodesics en una esfera. Yo no podía llegar a ninguna parte con integeral, pero estoy seguro de que alguien más puede, así que voy a dejar las cosas fuera de aquí.

... Ahora, de vuelta a mi ensayo.

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En una última nota, aquí está mi trabajo de investigación de mi primer semestre. Puedo demostrar cada paso hasta que prueben la muy Euler-Lagrange las ecuaciones de sí mismos y, a continuación, mostrar algunos ejemplos en uso, como la búsqueda de la geodésica en una esfera geodésica de una función giraba alrededor de un eje.

Como Jack se menciona en los comentarios a tu post, si se considera sólo los elipsoides que se puede obtener a través giratorio de función $f(x)$, el integeral es mucho más fácil. He demostrado en el documento mencionado, pero aquí está de nuevo:

$$v=c_1 \int_{u_1}^{u_2} \frac{\sqrt{1+(f'(u))^2}}{f(u) \sqrt{(f(u))^2-{c_1}^2}} \ du$$

Nota, $x=u$ en el anterior integeral.

Answer 2

Las siguientes direcciones sólo valores iniciales sólo.

Si todos los geodesics son tangentes al círculo

$$ x^2+y^2= r_{min}^2 @ \,r=r_{min}$$

como el Clairaut constante luego de un elipsoide de revolución

$$ (z/c)^2+(r/a)^2 = (z/c)^2+(x^2+y^2)/a ^2 = 1 $$

podemos diferenciar a encontrar el meridiano de la pendiente

$$ \tan \phi=-(a/c) \sqrt{(a/r)^2-1}, $$

y $r=f(\theta) $ se encuentra por la integración (para obtener la integral elíptica resultado)

$$ \frac{dr}{r \, d\theta}= \sin\phi \, \sqrt{1-(r/r_{min})^2 }.$$

del mismo modo $z$ se puede configurar. Tenemos $ (r,z)$ como funciones de $\theta$

Con $ (r_B,r_A), \theta_{AB}, (z_B,z_A) $ no podemos utilizar directamente este, sin embargo..

podemos empezar con las condiciones iniciales $(r_B, \theta_A =0, z_A ) $, pero para llegar al último punto que puede variar y ajustar Clairaut constante $r_{min}$ varios pequeños incrementos en un procedimiento numérico.