Cómo demostrarlo: $19.999<e^\pi-\pi<20$ ?

Question

Me gustaría saber cómo probar $$e^\pi-\pi\sim 20.$$ Más concretamente, quiero demostrar utilizando sólo herramientas matemáticas que, $$19.999<e^\pi-\pi<20$$

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Lo he comprobado con la calculadora online y he obtenido $$e^\pi-\pi\approx19.9990999792\sim 20.$$

Intenté usar la expansión Tyalor para la exponencial $$ e^\pi =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\pi^n}{n!} = \pi +1+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\pi^n}{n!}$$ entonces, $$e^\pi -\pi =1+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\pi^n}{n!}$$ que no es fácil de continuar desde aquí, ya que el factor $\pi^n$ está involucrado. ¿Alguna idea?

Answer 1

Utilice la iteración para calcular La constante de Gelfond : $$k_0 = 1/\sqrt{2},\quad k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}} {1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}$$ $$e^\pi =\lim_{n\to\infty} \left(\frac{4}{k_{n+1}}\right)^{2^{-n}}$$

En dos iteraciones deberías tener (suponiendo que sepas $\pi$ a 5 o más dígitos y que está dispuesto a calcular tres raíces cuadradas), que $e^\pi-\pi\approx 19.999$ :

$$k_1=3-2\sqrt{2}$$ $$k_2=33+24\sqrt{2}-4\sqrt{140+99\sqrt{2}}$$ Y: $$\sqrt{4\over k_2} \approx 19.99926 + \pi$$