¿Agujero en los axiomas de Hartshorne ' s "fundamentos de la geometría proyectiva"?

Question

Actualmente estoy trabajando mi camino a través de los Fundamentos de la Geometría Proyectiva por Hartshorne, y afirma que los axiomas que caracterizan una afín plano como:

Un plano afín es un conjunto $\mathbb{X}$ junto con una colección de $\mathcal{L}\subseteq\mathcal{P}\mathbb{X}$ de las líneas tales que

1. Para cualquiera de los dos puntos $x,y\in\mathbb{X}$ tal que $x\neq y$, no existe una única línea de $\ell\in\mathcal{L}$ tal que $\{x,y\}\subseteq\ell.$

2. Para cualquier línea de $\ell\in\mathcal{L}$ punto $x\in(\mathbb{X}\setminus\ell)$, no existe una única línea de $\ell'\in\mathcal{L}$ tal que $x\in\ell'$$\ell\parallel\ell'$.

3. Existen $3$ no colinear puntos.

Que falta de la lista de arriba es el axioma de que cualquier línea que contiene al menos dos puntos, y estoy teniendo problemas para demostrar que no puede haber singleton líneas a partir de estos axiomas. La página de wikipedia para afín aviones tiene este axioma, sin embargo no me sorprendería si fue una consecuencia de los otros tres y de esta manera redundante. Mi pregunta es, precisamente, esto:

Podemos deducir de las anteriores tres axiomas que cada línea de un plano afín contiene al menos dos puntos, o necesitamos esto como un axioma?

Answer 1

Se puede deducir, pero creo que es un poco más complicado que Mariano Suárez-Alvarez, y la respuesta la hace sonar. Aquí hay una manera de hacerlo.

En primer lugar, supongamos que el conjunto vacío es una línea. Ya que cada línea es paralela a la del conjunto vacío, (2) nos dice que todos los $x\in\mathbb{X}$ es en una única línea. Combinado con (1), esto significa que la única línea a través de $x$ también deben pasar a través de cada otro punto, y por lo $\mathbb{X}$ sí es una línea, lo cual viola (3).

Ahora supongamos que un singleton $\{x\}$ es una línea. Para cualquier $y\neq x$, considerar la línea de $\ell$ tal que $x,y\in\ell$. Por (3), existe un punto de $z$ que no está en $\ell$. Por (2), existe una línea de $\ell'$ a través de$z$, la cual es paralela a $\ell$. Pero ahora $\{x\}$ $\ell$ son dos diferentes líneas a través de las $x$ cuales son paralelas a $\ell'$, lo cual viola (2).

Answer 2

Este "extra" axioma, que cada línea contiene al menos dos puntos, está ahí para poner la idea de una geometría afín en el contexto de un tipo más general de la incidencia de la geometría.

Un espacio lineal es una incidencia geometría $(\mathcal{P}, \mathcal{L})$, por lo que

• Cada par de puntos está contenida en una sola línea
• Cada línea contiene al menos dos puntos

Al asegurar que nuestras líneas contienen dos puntos, podemos definir el rango de los objetos geométricos en términos de la cantidad de puntos que se necesita para generar el objeto (las líneas son generados por dos puntos distintos, aviones 3 no colineales líneas, etc.).

Un plano afín, entonces es un espacio lineal para las que existe al menos 3 puntos no colineales, y para cada línea de $\ell$ y el punto de $x \not\in \ell$, no hay una única línea de $\ell^{\prime}$ contiene $x$, que es disjunta de a $\ell$. Como se señaló en Eric excelente respuesta, estas condiciones hacen que el requisito de al menos dos puntos por línea ahora es redundante. Pero aún se mantiene, y declarando explícitamente dejamos claro que un espacio afín es un tipo especial de espacio lineal.

Answer 3

Supongamos que una línea L tiene 1 punto x. recoger cualquier dos puntos distintos de x: la línea L' a través de ellas es paralela a L. ¿Ves el problema?