Secuencia de ecuaciones

Question

La secuencia continúa infinitamente, ¿por qué funcionan las ecuaciones a continuación?

$$1+2=3$$ $$4+5+6=7+8$$ $$9+10+11+12=13+14+15$$

Así que he estado tratando de observar algunos patrones pero ninguno funciona me.

Así que decidí ampliar esto un poco más:

$$1+2=3$$ $$4+5+6=7+8$$ $$9+10+11+12=13+14+15$$ $$16+17+18+19+20=21+22+23+24$$ $$25+26+27+28+29+30=31+32+33+34+35$$

¿Alguien quiere ofrecer cualquier sugerencias? Estoy tratando de averiguar por qué funcionan

Answer 1

Lo que está sucediendo puede ser descubierto por un análisis, así que soy reacia a introducir símbolos. Pero aquí va. Queremos mostrar que $$\small n^2+(n^2+1)+(n^2+2)+\cdots +(n^2+n)=(n^2+n+1)+(n^2+n+2)+\cdots +(n^2+2n).\tag{1}$$ Esto puede ser hecho usando la fórmula habitual para la suma de una progresión aritmética.

Puede ser lo más sencillo es tener en cuenta que el primer término de la derecha de (1) es $n$ más que en el segundo término de la izquierda de (1). Y el segundo término de la derecha de (1) es $n$ más que en el tercer término de la izquierda de (1), y así sucesivamente.

De modo que la suma de los $n$ términos a la derecha de (1) es $n^2$ más que la suma de los últimos $n$ términos en el lado izquierdo de (1). Pero el primer término de la izquierda de (1) es $n^2$. Esto completa la prueba.

Answer 2

Se define un número pronic como $n(n+1)$ $n\in\mathbb{Z^+}$.

Podemos escribir $n(n+1)-2\sum_\limits{i=1}^n=0$. Y así cada parte de la suma puede dividirse en $n(n+1)+i$ y $n(n+1)-i$, que con arreglo a sus ecuaciones.

Además, puede ver el primer término en el lado izquierdo como $k^2$, con $k$ más sumends en el lado izquierdo, tan sólo tiene que añadir $k$ a cada uno.