He leído que un % de estado $\rho$en un unital $C^*$-álgebra $A$ es un si (es decir, multiplicative) carácter y sólo si, para todo unitario $u\in A$, $|\rho(u)| = 1$. ¿Hay una prueba fácil, o puede alguien me dirija a uno en la literatura?
Respuesta
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Una manera de probar esto es con la idea de multiplicativa de dominio. Funciona en más generalidad de los estados. Es decir, si $\rho:A\to B$ es unital completamente positivo mapa (al $B=\mathbb C$ esto se reduce a $\rho$ ser un estado), usted tiene el Schwarz desigualdad $$ \rho(a)^*\rho(a)\leq\rho (^*),\ \ \ \ un\ " en A. $$ El conjunto $\{a\in A:\ \rho(a)^*\rho(a)=\rho(a^*a)\}$ se llama la multiplicativo de dominio de $\rho$ y tiene la propiedad de que, para cualquier $x\in A$, $\rho(xa)=\rho(x)\rho(a)$ (usted puede encontrar más detalles sobre esto en Paulsen del libro o en la de Ozawa QWEP de papel, entre otros lugares).
Si todos los unitaries en $A$ satisfacer $\rho(u)^*\rho(u)=I=\rho(u^*u)$, entonces todos los unitaries están en la multiplicativo de dominio, por lo $\rho(xu)=\rho(x)\rho(u)$ todos los $x\in A$. Como cada elemento de la $A$ es una combinación lineal de unitaries, conseguimos que los $\rho$ es multiplicativo.
