Según tengo entendido, indecidibilidad significa que existe no hay pruebas o las contradicciones de una declaración.
Así que si has probado $X$ es indecidible entonces hay no hay contradicciones a $X$, así $X$ sostiene siempre, así que $X$ es verdad. Del mismo modo, si $X$ es indecidible entonces $\lnot X$ es indecidible. Pero otra vez, esto significaría $\lnot X$ es cierto que es una contradicción.
Hay no significa ninguna contradicción de $S$ $S$ es cierto.
La forma estándar es construir "modelos" que satisfacen todos los axiomas, sin embargo, la afirmación es cierta en algunos modelo pero falso en algún otro modelo.
Un ejemplo famoso, el postulado paralelo es independiente de la geometría neutral. Existe geometría euclidiana, que contener el postulado; pero también geometría no-euclidiana, de los cuales el postulado falla.
La idea es que provability es un syntatic concepto, mientras que la verdad es semántica.
Formalmente, un enunciado matemático es simplemente una secuencia de caracteres (que a menudo implican cosas como "(", "$\forall$ ", "$x_1$", "$\wedge$", etc). Una prueba es simplemente un tipo particular de la secuencia de caracteres. Tenga en cuenta que mientras que estos personajes, en general, han convenido en significados, NO estamos aplicando en esta etapa - una prueba de realidad, es sólo un "tipo especial" de la secuencia de caracteres.
Cuando uno dice "yo no puedo demostrar declaración de la X a partir de los axiomas", uno (oficialmente) significa que no existe un "tipo especial" de la secuencia de caracteres que comienza con las cosas en Una y terminando con X. Nota que no existe una noción de si o no "X es verdadera" en este punto.
Ahora, una de las formas más comunes de una muestra "no puedo demostrar la declaración de la X a partir de los axiomas" es mediante la exhibición de un modelo M de la Una de la cual determinadas propiedades. Un modelo es un conjunto junto con las interpretaciones de cualquier constantes, funciones y relaciones. Un modelo que nos permite interpretar un syntatic formal-cadena de caracteres de matemáticas declaración como un honesto a la bondad enunciado matemático, el cual, dispone de un valor verdadero o falso.
A continuación, con el fin de mostrar "yo puedo demostrar la declaración de la X a partir de los axiomas", que habitualmente se exhibe dos modelos M y M' (es decir, 2 de las diferentes interpretaciones de los símbolos que aparecen en el de los enunciados matemáticos) con la propiedad de que en M y M', todos los axiomas en Una se le asigna el valor true, mientras que X es asignado verdadera en M y false en M'.
El punto es que si X es verdadero o falso que sucede en las dos configuraciones diferentes de M y M', así que no hay contradicciones. En cualquier instancia (modelo), X es verdadera o falsa pero no ambas. Undecidability significa que hay modelos donde es cierto y modelos donde es falso.
Hay una diferencia entre "lógicamente válido" y "comprobable". Algunos teoremas pueden ser demostrada; es decir, que pueden ser deducidas a partir de los axiomas. Que no siempre implica que los teoremas son lógicamente válidos (específicamente la inconsistencia de las teorías), porque validez lógico es acerca de "evaluar" las declaraciones específicas, tales como "$5>3$". Es verdadero o falso, y en este caso es lógicamente válido, y es comprobable incluso ($1>0$, lo $1+1>0$, lo $2>0$$5>3$, dependiendo del sistema de axiomas que asumir).
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