Mostrando una función es negativa

Question

Tengo la siguiente función $f:[0,\frac{1}{2}] \to \mathbb{R}$:

$$f(p) = p^2(\log(p))^2 - (1-p)^2(\log(1-p))^2 + (1-2p)\log(p)\log(1-p) + (1-2p)\{p\log(p)+(1-p)\log(1-p)\}$$

La necesito para mostrar la desigualdad es $$f(p) \leq 0$$I can show that $f(0) = f(1/2) = 0$, and that $f'(0) =-1$, $f'(1/2) = 0 $. The graph of $f$ parece

.

Desde su no monotónica convexo/cóncavo estoy atrapado. ¡Alguno de los cables es Bienvenido!

Answer 1

He conseguido solucionar el problema eventualmente en una forma no tan elegante, para el contorno de la prueba y más detalles acerca de donde esto vino de desigualdad de consulte el mathoverflow enlazan http://mathoverflow.net/questions/93271/proving-a-messy-inequality