$\sqrt[2]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{1+\cdots}}}\approx 1.5176001678...$

Question

Mientras que en el chat, un interesante limitar salió: $$\sqrt[2]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{1+\cdots}}}\approx 1.5176001678777188...\lt\phi$$ robjohn determina su valor de cincuenta lugares, y a la Inversa Simbólico de la Calculadora de los rendimientos de nada.

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Hay una forma cerrada para esta bonita límite?

Answer 1

Vamos $$r_n := 1+\sqrt[2]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{\ldots+\sqrt[n]{1}}}}$$ (donde he añadido el $1$ al principio, porque se ve más bonito de esa manera y yo quería). Entonces tenemos que $r_1=1$ es una raíz del polinomio $p_1(x) = x-1$ y que (por recursión, si quieres) $r_n$ es una raíz de $p_n(x) = p_{n-1}(x)^n-1$.

Que me sugieren para el estudio de esta secuencia de polinomios en lugar de su complicada secuencia de las raíces.

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Edit: se ha Eliminado el siguiente equivocado reclamación (después de un buen contraejemplo por los Elefantes rosas):

Por desgracia, mi teoría de Galois es un poco oxidado, y yo no tengo tiempo ahora para revisar el tema, pero creo que sería bastante sencillo demostrar que el polinomio inducir una secuencia de campo extensiones $\mathbb{Q}$ que han estrictamente creciente grado, la cual debe implicar (creo) que el límite de la secuencia de la $r_n$, si es que existe, es trascendental.