Prueba $ \left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)^n\ge\frac{n+1}{n}$ por inducción.

Question

Prueba $n\in\mathbb{N}$: $$ \left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)^n\ge\frac{n+1}{n}.$ $ por inducción.

Estoy haciendo inducción antes de mis clases regulares ya que necesito para la competencia en unos meses. Yo he introducido a inducción antes, pero yo nunca he demostrado desigualdades con él antes, así que estoy bastante nuevo en esto, sobre todo porque tengo $n$ en el poder y la base.

Answer 1

Si quieres probar por inducción, es ciertamente posible, como Broskiana Jones acaba de demostrar. Sin embargo, el Teorema del binomio hará el truco para usted sin inducción:

$$\begin{align*} \left(\frac{1+n^2}{n^2}\right)^n&=\left(1+\frac1{n^2}\right)^n\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}k\left(\frac1{n^2}\right)^k(1)^{n-k}\\ &=1+n\left(\frac1{n^2}\right)+\dots\\ &=1+\frac1n+\dots\\ &\ge 1+\frac1n\;. \end{align*} $$

Answer 2

Qué tal esto: probar algo más fuertes con la inducción en n:
$ (1 + a)^n \geq 1+ na $ (1) por cada $n \in \mathbf{N} $ y a es cualquier número real fijo que no es menos de -1.
Es cierto para n = 1
Supongamos que $ (1+a)^k\geq1+ka $
entonces $(1+a)^{k+1}\geq (1+ka)(1+a) $ desde $ 1+a \geq 0$ que significa $(1+a)^{k+1}\geq 1+ka + a + ka^2 \geq 1+(k+1)a $.
Por lo tanto (1) es verdadera. Cada número $a = 1/n^2 $ satisface (1) la condición, por lo que tenemos
$(1+\frac{1}{n^2})^n\geq1+\frac{1}{n}$ cada $n \in \mathbf{N} $.