Grupoides conectado y grupoides de acción

Question

Está escrito en Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Groupoid, que cualquier conectados groupoid $A\rightrightarrows X$ es isomorfo a la acción groupoid viniendo de una acción transitiva de algún grupo $G$$X$. No entiendo cómo construir el correspondiente grupo de $G$.

Deje $A\rightrightarrows X$ ser conectado groupoid, donde $X$ es el conjunto de objetos y $A$ es el conjunto de flechas. Elija un objeto de $x_0\in X$, y considerar el conjunto $G=A(x_0,-)$, el conjunto de todas las flechas a partir de $x_0$. Creo que el $G$ es el grupo correspondiente. Cómo puedo definir una composición ley de $G$?

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Conectado groupoid Una puede ser escrito como una acción groupoid para diferentes grupos G. Todos los groupoid determina es H, el grupo de automorfismos de cualquier objeto en el groupoid, y el índice de H en G, que es la cardinalidad del conjunto de los objetos de la groupoid. Y cualquier grupo G con el subgrupo H de el índice correcto, la acción de G en el conjunto de cosets de H tiene acción groupoid isomorfo a Un.

Esto es lo esperado, ya que si pensamos en H como un objeto groupoid y de X como una indiscreta groupoid (el conjunto de objetos X, y no hay una única morfismos entre cualquier par de objetos) que el original groupoid Una es isomorfo al producto H × X, por lo que el isomorfismo de la clase de Un solo depende en el grupo H y la cardinalidad de X.

ACTUALIZACIÓN 2: Aquí es un sloganized respuesta a la pregunta: la equivalencia de la clase de conexión de un groupoid Una está determinada por el isomorfismo de la clase del grupo H = Aut(x₀); el isomorfismo de la clase de una categoría está dada por los datos de su clase de equivalencia más el número de isomorfo copias de cada objeto en un esqueleto.

ACTUALIZACIÓN: Aquí es una prueba de las afirmaciones anteriores "UPDATE 2".

Reivindicación 1: Una es isomorfo a H × X.

Prueba. Elige un objeto x₀ de Una, identificar H con Aut(x₀) y elija arbitraria morfismos una_x : x₀ → x. El isomorfismo H × X → Una es la identidad en objetos y envía un morfismos (h, u) : x → y a los morfismos una_y h a_x^-1. (Aquí u es el único de morfismos en X de x a y.) La inversa de Una → H × X envía un morfismos una : x → y (una_y^-1 a a_x, u) --el mismo u como el anterior.

Reivindicación 2: Para cualquier grupo G con un subgrupo H de índice de |X|, la acción groupoid de G que actúa sobre el conjunto G/H de cosets es isomorfo a Un.

Prueba. Ambos groupoids son isomorfo a H × X.

Como un ejemplo extremo de esto, vamos a G actuar sobre sí mismo por la traducción y tomar la acción groupoid. Esto tiene un conjunto de objetos G y un único morfismos entre cada par de elementos. Aviso todos los rastros de la estructura del grupo de G se ha ido: el isomorfismo de la clase de este indiscreta groupoid sólo depende de la cardinalidad de G.

Answer 2

Otra manera de mirar esto es el uso de la equivalencia de categorías entre las que cubren morfismos de un groupoid $P$ y las acciones de $P$ sobre los conjuntos. (Recordemos que una cubierta de morfismos $p:G \to P$ es un groupoid de morfismos con único camino de elevación. No necesariamente únicas camino de elevación da un fibration de groupoids.) Dada una operación de $P$ sobre un conjunto $X$, la correspondiente cubriendo de morfismos puede ser escrito $P \ltimes X$, una acción groupoid, y pensado como un semidirect producto porque es un caso especial de la semidirect producto de una acción de un groupoid $P$ en un groupoid $H$. Para ello se necesita un morfismos de groupoids $\omega: H \to Ob(P)$, donde el último es considerado como un discreto groupoid, y un elemento $w: x \to y$ $P$ da un morfismos de groupoids $w_*: \omega^{-1}(x) \to \omega^{-1}(y)$. Uno tiene que ser preciso en los convenios para llevar todo esto a la derecha, que no voy a hacer aquí.

Así que un groupoid $G$ tiene una representación como una acción groupoid cuando se le da una cobertura de morfismos $ G \to P$. Esto está estrechamente relacionado con Omar de la respuesta, por supuesto.