Pelota lanzada desde un tren en marcha

Question

No se trata de lanzar una pelota verticalmente en un tren en movimiento. Estoy preguntando qué pasaría si lanzo una pelota horizontalmente en un tren en movimiento. Supongamos que estoy frente a una puerta de salida de un tren y tiro una pelota por la puerta de salida. Mi pregunta es si para un observador externo la pelota seguirá una trayectoria recta o se curvará. ¿Cómo me parecerá a mí? He dicho curva porque como el tren está en movimiento, la pelota también tiene un impulso lateral inicial perpendicular a la dirección en la que se lanza. La imagen de abajo muestra una descripción visual de la escena.

El tren se mueve a cierta velocidad $v_x$ en el $z$ -y la pelota es lanzada a cierta velocidad $v_y$ a lo largo del eje x. Pero la pelota también tiene cierta velocidad inicial antes de ser lanzada en la dirección del eje $z$ -eje. Entonces, ¿seguirá la pelota una trayectoria curva a lo largo del eje $z$ -¿eje?

En $z$ -es el eje a lo largo del cual se mueven el tren y el hombre.

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Despreciamos la fricción del aire y también los efectos de la gravedad.

Answer 1

Permítanme primero ir a través de esto sin fricción o arrastre de aire.

Tú dices $v_y$ a lo largo del $x$ -y el tren se mueve con $v_x$ a lo largo del $z$ -eje. Esto es un poco incoherente. Utilizaré las velocidades, pero no tu descripción de los ejes. Así que el tren se mueve en el $x$ -dirección, el balón se lanza al $y$ -dirección y la $z$ -La dirección es arriba-abajo.

Desde el tren

Desde el observador en el tren, la bola se moverá con una constante $v_y$ lejos del tren. No hay nada que lo frene. Además, no hay $v_x$ componente en el movimiento de la bola respecto al tren . Así que el hombre del tren verá la pelota justo delante de él, volando más lejos y empezando a caer con $v_z = - g t$ . Habrá una trayectoria curva, una parábola en la $y$ - $z$ -plano, el plano al que el tren se desplaza perpendicularmente.

Eso se parece a esto:

Puedes escribir esto con vectores así, con $g$ siendo la aceleración debida a la gravedad: $$ \vec v(t) = v_y \, \hat y - g t \, \hat z = \begin{pmatrix} 0 \\ v_y \\ - gt \end{pmatrix} $$

A continuación, puede integrar esto de nuevo con respecto a $t$ y obtener la posición $\vec r$ de tu pelota. He puesto todas las constantes de integración a 0 para hacerlo más sencillo. En principio, permiten cualquier punto de partida. Voy a suponer que el punto de partida es el origen del sistema de coordenadas. Entonces la trayectoria es: $$ \vec r(t) = v_y t \, \hat y - \frac12 g t^2 \, \hat z = \begin{pmatrix} 0 \\ v_y t \\ - 0.5 gt^2 \end{pmatrix} $$

Desde el suelo

Si usted es un observador tal que el tren se mueve con respecto a usted, verá que la bola se mueve con una velocidad constante en $x$ y $y$ pero también ver cómo empieza a caerse. Así que ves una parábola en un plano que es transversal a los ejes.

Hice otra foto, estás mirando la parte delantera del tren, sólo un poco sesgada para ver los ejes 3D:

Las velocidades son similares, salvo que hay que incluir también el movimiento del tren. La bola tiene la misma $v_x$ como el tren. Así que esto es $$ \vec v(t) = v_x \, \hat x + v_y \, \hat y - g t \, \hat z = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ - gt \end{pmatrix} $$

Después de la integración, esto es: $$ \vec r(t) = v_x t \, \hat x + v_y t \, \hat y - \frac12 g t^2 \, \hat z = \begin{pmatrix} v_x t \\ v_y t \\ - 0.5 gt^2 \end{pmatrix} $$

Transformación de Galilei

Otra posibilidad es aplicarle una transformación de Galilei. Intentaré ser pedante ya que las transformaciones de sistemas de coordenadas son difíciles de hacer bien. Acabo de hacer meses de relatividad general, así que sé lo difícil que es :-)

Sea el sistema del tren $\Sigma$ donde las coordenadas son $\vec r$ y $\vec v$ . El sistema en tierra será $\tilde \Sigma$ donde las coordenadas son $\tilde{\vec r}$ y $\tilde{\vec v}$ .

Así que ya teníamos lo siguiente para el tren (sin $\tilde{}$ ): $$ \vec r(t) = v_y t \, \hat y - \frac12 g t^2 \, \hat z = \begin{pmatrix} 0 \\ v_y t \\ - 0.5 gt^2 \end{pmatrix} $$

Ahora la transformación del tren al suelo es como sigue: $v_x \to \tilde v_x = v_x + v_\text{Train}$ . Todas las demás velocidades permanecen invariables. Cuando esto se integre, los puntos espaciales se transformarán con $r_x \to \tilde r_x = r_x + v_\text{Train} t$ .

Con esa transformación, podemos obtener la trayectoria vista desde $\tilde\Sigma$ el suelo: $$ \tilde{\vec r}(t) = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ v_y t \\ - 0.5 gt^2 \end{pmatrix}}_{\vec r(t)} + \begin{pmatrix} v_\text{Train} t \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Dijiste que el tren se movía con $v_x$ por lo que podemos escribir $v_\text{Train} = v_x$ y obtener $$ \tilde{\vec r}(t) = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ v_y t \\ - 0.5 gt^2 \end{pmatrix}}_{\vec r(t)} + \begin{pmatrix} v_x t \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_x t \\ v_y t \\ - 0.5 gt^2 \end{pmatrix} $$ que ya teníamos antes.

Resistencia al aire

La resistencia del aire hará que la pelota se ralentice en cada una de sus velocidades, curvando aún más la curva.

Foto de arriba

Si se mira desde arriba, es lo mismo que ignorar la gravedad. Se ve así:

Instantáneas de tiempo

Cuando estés en el tren, verás que los raíles se mueven debajo de ti, y la bola se moverá hacia dentro. su $y$ -Dirección:

Cuando estés fuera, verás el tren en movimiento. La pelota siempre estará delante de la persona que la ha lanzado. Por lo tanto, se moverá en diagonal. Sin embargo, ¡esa línea es recta!

Answer 2

Suponiendo que el tren se encuentre en un marco de referencia inercial (sin aceleración) y si despreciamos tanto la fricción del aire como los efectos de la gravedad, entonces la pelota se moverá en línea recta alejándose de ti a la misma velocidad a la que la lanzaste hasta que alguna otra fuerza actúe sobre ella. Esta situación sería idéntica a la de lanzar la pelota estando quieto.

Si alguien estuviera al lado de las vías del tren en el lugar donde soltaste la pelota, también vería la pelota moviéndose en línea recta, sin embargo vería la pelota moviéndose con la velocidad en la dirección z sumada a la velocidad en la dirección x. Para entender cómo se suman estos vectores, basta con mirar la siguiente imagen:

Vg es lo que observaría la persona que flota junto al tren.

Esta pregunta ilustra la primera ley de Newton.

Answer 3

Permítame que le precise las convenciones, porque sus anotaciones son poco convencionales. El sufijo en una cantidad vectorial siempre representa la componente a lo largo de una dirección específica, componente de la velocidad $v$ a lo largo del eje x se denota por $ v_x.$ Sin embargo, su pregunta es precisa independientemente de las convenciones utilizadas.

Comprensión de su problema

Has hecho precisiones que ignoran los efectos de la gravedad.
Aunque lances la pelota fuera del tren en dirección perpendicular en un momento determinado, no te parecerá perpendicular cuando la observes desde el tren, pero para un observador externo, será perpendicular al tren que se está moviendo. Tanto para ti como para el observador externo, la bola seguirá una línea recta mientras no esté acelerada.
Tenga siempre presente que la trayectoria curva se produce generalmente cuando la velocidad y la aceleración que actúan sobre una bola son perpendiculares. En tu pregunta, se da en dos casos

1. cuando la velocidad inicial impuesta al cuerpo está sometida a una aceleración en la dirección perpendicular. $v_y$ a lo largo del eje x y hay una aceleración que actúa, digamos $a_x$ a lo largo del eje z- según tus convenciones, entonces habría trayectoria curva tanto para ti como para el observador externo.

2. cuando a la bola se le impone una aceleración $a_y$ a lo largo del eje x(segun tus convenciones), la pelota tendria una trayectoria curva solo para ti, pero para el observador externo estaria en linea recta pero tendria aceleracion.