Para evaluar…

Question

$$\begin{align*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 \left(\frac{x}{2}\right) - \frac{x^2}{4}}{e^{x^{2}} + e^{-x^{2}} - 2} &\overset{L}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - \frac{1}{2}x}{2xe^{x^{2}} + (-2x)e^{-x^{2}}} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - \frac{1}{2}x}{2xe^{x^{2}} -2xe^{-x^{2}}} \\ &\overset{L}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}\cos^2 \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\sin^2 \frac{x}{2} - \frac{1}{2}}{(2x)(2x)e^{x^{2}} - (2x)(-2x)(e^{-x^{2}})} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}\cos^2 \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\sin^2 \frac{x}{2} - \frac{1}{2}}{4x^2 e^{x^{2}} + 4x^2 e^{-x^{2}}} \\ &\overset{L}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}\left( -\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \right) - \frac{1}{2} \left( \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \right)}{(4x^2)(2x)e^{x^{2}} + (4x^2)(-2x)(e^{-x^{2}})} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{-\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{8x^3e^{x^{2}} - 8x^3 e^{-x^{2}}} \\ \end{align*}$$

Después de evaluar el límite de $x \to 0$, me di cuenta de que el problema llega a ser en una forma indeterminada de $0/0$. Inmediatamente me utilizó la Regla de L'Hospital de la diferenciación, tanto en el numerador y el denominador.

Sin embargo, después de usar la regla de L'Hospital de 5-6 veces, me di cuenta de que la pregunta va a ir a través de un bucle de $0/0$ indeterminants.

En mi segundo intento, He intentado multiplicar $\exp(x^2)$, tanto en el numerador y denominador con la esperanza de equilibrar la $\exp(x^{-2})$. Sin embargo, un indeterminant es $0/0$ todavía resultante.

Se agradece cualquier ayuda, gracias a todos!

Answer 1

Consejo: Utilizar la aproximación de Taylor para el seno y la función exponencial.

$$\sin(u)=u-u^3/6+O(u^5)$$ $$\exp(u)=1+u+u^2/2 + O(u^3).$$

Answer 2

$$=\lim_{x\to0}e^{x^2}\cdot\dfrac{\left(\sin\dfrac x2\right)^2-\left(\dfrac x2\right)^2}{(e^{x^2}-1)^2}$$

$$=-\dfrac1{2^4}\lim_{x\to0}e^{x^2}\cdot\lim_{x\to0}\dfrac{\sin\dfrac x2+\dfrac x2}{\dfrac x2}\cdot\lim_{x\to0}\dfrac{\dfrac x2-\sin\dfrac x2}{\left(\dfrac x2\right)^3}\left(\dfrac1{\lim_{x\to0}\dfrac{e^{x^2}-1}{x^2}}\right)^2$$

$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin\dfrac x2+\dfrac x2}{\dfrac x2}=\lim_{x\to0}\left(\dfrac{\sin\dfrac x2}{\dfrac x2}+1\right)=?+1$

$\lim_{x\to0}\dfrac{e^{x^2}-1}{x^2}=1$

Para $I=\lim_{x\to0}\dfrac{\dfrac x2-\sin\dfrac x2}{\left(\dfrac x2\right)^3},$ $x=2y$

y son solucionables sin L'Hôpital regla o serie de todos los límites, para encontrar $6I=1$

Answer 3

Sólo tienes que encontrar equivalentes para el numerador y el denominador. Lo empezamos con reescribirlos y usar clásico expansiones de Taylor:

Numerador: %#% $ #% por lo que el numerador es equivalente cerca de $$\sin^2\dfrac x2-\dfrac{x^2}4=\dfrac{1-\cos x}{2}-\dfrac{x^2}4=\biggl[\frac12-\Bigl(\frac12-\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{48}+o\bigl(x^4\bigr)\Bigr)\biggr]-\frac{x^2}4=-\frac{x^4}{48}+o\bigl(x^4\bigr)$ $\,0\;$.

Denominador: Sabemos que $-\dfrac{x^4}{48}$, que $\sinh u\sim_0 u$ $ por lo que el denominador es equivalente a $$\mathrm e^{x^2}+\mathrm e^{-x^2}-2=1+x^2+\frac{x^4}2+o(x^4)+1-x^2+\frac{x^4}2+o(x^4)-2=x^4+o(x^4)$. Allí resulta % $ $x^4$

Answer 4

Creo que, a partir de la segunda expresión que será fácil de obtener un resultado :
$$ \lim_{x\to0} { {\sin^2({x \over 2})} - {{x^2} \over 4} \over { e^{x^2}+ e^{-{x^2}}-2} } = \lim_{y\to0} { {\sin^2({\sqrt y \over 2})} - {y \más de 4} \over { e^y+ e^{-y}-2} }=? $$ I do $y=x^2$. Claramente numerador es 0 y el denominador es $0$.
Voy a corregir aquí. Ampliar la función de $\sin^2{y \over 2}={y \over 4} - {{y^2} \over 48}+ ...$. Así, en el numerador, obtenemos ${{-{y^2}}\over 48}+ ...$. En el denominador una expansión de Taylor obtener después de descansar 2 : $y^2 + ...$
Podemos hacer una división : $$ \lim_{y\to0} { {\sin^2({\sqrt y \over 2})} - {y \más de 4} \over { e^y+ e^{-y}-2} }= \lim_{y\to0} {{{ -{y^2}\más de 48}} \over {y^2}} = {-1 \más de 48} $$