Curiosamente esto ocurre para todos los $p$ en la secuencia de A000057, este
la secuencia consiste de los números primos $p$ para que el punto de entrada es de Fibonacci
$p+1$ (es decir, la primera positiva $n$ que $p$ divide $F(n)$$p+1$,
donde $(F(n))_{n \geq 0}$ es la secuencia de Fibonacci). Tenga en cuenta que para todos los
$p$ en esta lista el polinomio $x^2 - x - 1$ es irreducible en $\mathbb{F}
_p[x]$ como se explicó en la sección 4 de estas notas.
La Conjetura
Tomar un número primo $p$ en A000057.
Los primeros de estos primos son $$2,\ 3,\ 7,\ 23,\ 43,\ 67,\ 83,\ 103,\ 127,
\ 163,\dots.$$ Now let $F_{a,b}(n)$ be a sequence in $\mathbb{F}_p$ definidas
por $$F_{a,b}(0) = a,\ F_{a,b}(1) = b \text{ y } F_{a,b}(n) + F_{a,b}(n+1) =
F_{a,b}(n+2).$$ We let $r_{a,b}(n)$ be the unique element of $\{0, \puntos, p-1\}$
tal que $r_{a,b}(n) \equiv F_{a,b}(n) \pmod{p}$. Si nosotros, por ejemplo, escribir la
primer par de términos de la progresión $r_{0,1}(n)$ $p = 7$
consigue $$ 0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 1,\ 6,\ 0,\ 6,\ 6,\ 5,\ 4,\ 2,\ 6,\ 1,\dots $$, si calculamos
la suma de estos $16$ valores obtenemos $49$. Vamos a intentar esto un par de veces más
para diferentes valores de $p$ y llegar a la conjetura de que si $a,b$ no son ambos cero
nos encontramos con que $$\sum_{n=0}^{2p+1} r_{a,b}(n) = p^2.$$
La Prueba
En primer lugar vemos que el $F_{a,b}(n) + F_{a,b}(n + p + 1)$ parece ser cero para todos
a partir de los valores de $a,b$ y todos los $n$. Para probar esto hacemos uso de la teoría de la característica
polinomios de relaciones de recurrencia para obtener una fórmula general para el valor de
$F_{a,b}(n)$. El polinomio característico de esta relación está dada por $f(x)
= x^2 - x - 1$. Since we have chosen $p$ such that $f(x)$ es irreducible en
$\mathbb{F}_p[x]$ tenemos que ir a la prórroga de campo $$\mathbb{F}_{p^2}:=
\mathbb{F}_p[x]/(f(x))$$ to obtain the roots $z_1,z_2$ such that $f(x) = (x-z_1)
(x-z_2)$. By comparing coefficients we see that $z_1 \cdot z_2 = -1$ y a partir de la
teoría de campos finitos sabemos que el Frobenius mapa de $x \mapsto x^p$ envía
$z_1$ $z_2$y viceversa. Ahora el término general $F_{a,b}(n)$ es dado
por $$F_{a,b}(n) = c_1 \cdot z_1^n + c_2 \cdot z_2^n,$$ where $c_1,c_2$ son
constantes en $\mathbb{F}_{p^2}$ que dependen de los valores de partida $a,b$. Nosotros
ahora se puede calcular que
\begin{align*}
F_{a,b}(n+p+1) &= c_1\cdot z_1^{n+p+1} + c_2 \cdot {z_2}^{n+p+1} \\
&= c_1 \cdot z_1^n \cdot z_1 \cdot z_1^p + c_2 \cdot {z_2}^n \cdot {z_2} \cdot {z_2}^p \\
&= c_1 \cdot z_1^n \cdot (z_1 \cdot {z_2}) + c_2 \cdot {z_2}^n \cdot ({z_2} \cdot z_1) \\
&= - c_1 \cdot z_1^n - c_2 \cdot {{z_2}}^{n}\\
&= -F_{a,b}(n).
\end{align*}
Esto nos dice que, efectivamente,$F_{a,b}(n) + F_{a,b}(n + p + 1) = 0$. Veamos ahora
las secuencias de la forma $F_{0,a}(n)$, de tal manera que el primer valor es cero. Vemos que
$c_1 = -c_2$ de manera tal que la fórmula general es de la forma $$F_{0,} (n) = C(z_1^n -
z_2^n),$$ where $C \in \mathbb{F}_{p^2}$ depends on $$. Queremos saber cuando
$F_{0,a}(n) = 0$ por primera vez con $n > 0$ para los no-cero $a$. Mirando el directo
la fórmula vemos que $F_{0,a}(n) = 0$ si y sólo si $z_1^n = z_2^n$. A partir de la teoría de Galois
sabemos que esto ocurre si y sólo si $z_1^n \in \mathbb{F}_{p}$. Ahora con el hecho de
que $z_1^2 = z_1 +1$ podemos probar por inducción que $$z_1^n = \overline{F
(n)} \cdot z_1 + \overline{F(n-1)},$$ where $(F(n))_{n \geq 0}$ es ahora el regular
La secuencia de Fibonacci. Así que podemos ver que este es un elemento de $\mathbb{F}_{p}$ si y sólo si
$F(n)$ es divisible por $p$. Así que estamos buscando la primera positivo $n$ tal que
$F(n)$ es divisible por $p$. Hemos escogido $p$, precisamente, tal que este valor es $p+1$.
Esto significa que el período de $F_{0,a}$ al menos $p+1$, pero desde $F_{0,a}(1) = a$
y $F_{0,a}(p+2) = -a$ y estos no son iguales, vemos que el periodo de $F_{0,a}$
es $2(p+1)$. Así, vemos que los pares
$$
(F_{0,} (0),F_{0,} (1)),\ (F_{0,} (1),F_{0,} (2)),\ \dots, \ (F_{0,} (2p+1),F_{0,} (2p+2))
$$
son todos diferentes. También vemos que las secuencias $$F_{0,1},\ F_{0,2}, \dots,
F_{0,\frac{p-1}{2}}$$ are all different since a sequence of the form $F_{0,a}$ contiene
sólo los dos tuplas $(0,a)$ $(0,-a)$ $0$ como la primera entrada de la pareja. Así que si nos
ahora conteo de pares hemos encontrado $$\frac{p-1}{2}\cdot 2(p+1) = p^2-1,$$, junto con la
trivial secuencia $F_{0,0}$ vemos que nos han contado todos los $p^2$ pares y por lo tanto todos
las secuencias de $F_{a,b}$ son en realidad de la forma $F_{0,c}$ algunos $c$ posiblemente cambió.
Desde el período de $F_{a,b}$ $2(p+1)$ la suma es constante en el cambio de la
secuencia tal que $$\sum_{n=0}^{2p+1} r_{a,b}(n) = \sum_{n=0}^{2p+1} r_{0,c}(n),$$
para algunos $c$. Hemos visto que si $c \neq 0$ hecho $0$ sólo aparece dos veces en el
suma. Desde $F_{a,b}(n+p+1)=-F_{a,b}(n)$ vemos que $r_{a,b}(n+p+1)+ r_{a,b}(n) = p$
si $F_{a,b}(n) \neq 0$ y por lo tanto vemos que la suma es igual a
$$\sum_{n=0}^{2p+1} r_{0,c}(n) = p^2.$$
