Una pregunta sobre Euler ' s prueba del problema de Basilea

Question

He estudiado la prueba de que Euler dio el famoso Problema de Basilea, y parece que si bien es técnicamente correcto, él no justificar todos sus pasos correctamente. Es decir, se asume que

$$\frac{\sin(x)}{x}=\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\frac{x}{2\pi}\right)\dots$$

simplemente porque tienen las mismas raíces, que realmente no es lo suficientemente fuerte como condición. ¿Cómo se puede mostrar que la igualdad se mantiene?

Él se da cuenta de que si el uso de la por encima de la igualdad, y considero que es en contra de la expansión de Taylor para $\frac{\sin(x)}{x}$, entonces usted puede igualar los coeficientes de los dos infinitas expansiones en cada pedido, y el resultado de los convenios de Basilea problema de la siguiente manera. Pero, ¿cómo saber que si se tienen dos diferentes expansiones para una función, entonces sus coeficientes en cada pedido debe ser igual?

Yo realmente apreciaría si alguien podría enseñarme cómo hacer que estos dos intuitiva, a la vez informal, los pasos rigurosos.

Answer 1

El teorema siguiente puede ser utilizado: http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_factorization_theorem

Answer 2

Dos series de potencias de una función, $f$, $x_0$ que convergen en algún barrio de $x_0$ $f$ debe tener los mismos coeficientes. Euler calcula la serie de energía formal para el producto infinito para $\frac{\sin(x)}{x}$. Demostrando que esto es realmente la convergente serie de energía requiere un poco más trabajo, pero la idea es buena.