Dejemos que ${\mathbb M}_n$ estar equipados con $\| \cdot \|_1$ . Denote por $B_1=\{ X\in {\mathbb M}_n;\quad \| X\|_1\leq 1\}$ la bola unitaria cerrada en ${\mathbb M}_n$ . Para $A\in {\mathbb M}_n$ , dejemos que $\rho_A:{\mathbb M}_n \to {\mathbb M}_n$ se define por $\rho_A(X)=XA$ . Entonces el problema es describir el conjunto $$ \rho_{A}^{-1}(B_1)=\{ X\in {\mathbb M}_n;\quad \rho_A(X)\in B_1\}. $$
No sé si se puede dar una respuesta completa a esta pregunta. Así que sólo mencionaré las observaciones.
(1) Si $A$ es invertible, entonces $\rho_A$ es una biyección y su inversa es $\rho_{A^{-1}}$ . Por lo tanto, en este caso $$\rho_{A}^{-1}(B_1)=\rho_{A^{-1}}(B_1)=\{ XA^{-1};\quad X\in B_1\}. $$ (2) Si $A$ no es invertible, entonces $0$ es su valor propio y existen vectores $x\ne 0$ tal que $A^Tx=0$ . Por lo tanto, $x^TA=0$ lo que implica que $XA=0$ para $X=yx^T$ , donde $y$ es un vector arbitrario. Por supuesto, cualquier combinación lineal de matrices de este tipo está en $\rho_{A}^{-1}(B_1)$ . Además, si $x_1, \ldots, x_k$ son vectores propios de $A^T$ en $0$ y $y_1, \ldots, y_k$ son vectores arbitrarios, entonces para cada $T\in \rho_{A}^{-1}(B_1)$ uno tiene $$ X=y_1 x_{1}^{T}+\cdots+y_k x_{k}^{T}+T \in \rho_{A}^{-1}(B_1).$$ Así, en este caso $\rho_{A}^{-1}(B_1)$ contiene el subespacio de matrices que denotaré (quizá no sea correcto) como ${\mathbb R}^n \otimes (ker A^T)$ .
Ejemplo Dejemos que $A=diag[\lambda_1, \ldots, \lambda_n]$ (matriz diagonal) con $\| A\|_1 \leq 1$ . Entonces $|\lambda_i|\leq 1$ para cualquier $1\leq i \leq n$ . Denote $\epsilon_i=\frac{1}{\lambda_i}$ si $\lambda_i \ne 0$ y $\epsilon_i=+\infty$ si $\lambda_i=0$ . Escriba una matriz $X\in {\mathbb M}_n$ como $$ X=\bigl[x_1|\ldots|x_n\bigr], $$ donde $x_i$ es el $i$ vector columna. Entonces $$\rho_{A}^{-1}(B_1)=\{ X=\bigl[x_1|\ldots|x_n\bigr]\in {\mathbb M}_n;\quad \| x_i\|_1 \leq \epsilon_i \quad (1\leq i \leq n)\}. $$
