$L^{1}$ tensores de energía-momentum en la relatividad general; gravedad semi clásica

Question

Yo no estaba seguro de si a plantear esta cuestión en la física o las matemáticas foro, pero es una idea interesante, he estado pensando durante algún tiempo.

En cualquier (semi-)clásica teoría de campo se asume a menudo que la Lagrangians de la teoría de la $\mathcal{L}$ de las mismas son las funciones lisas de algún tipo a través de una de Lorenz (de Riemann) colector $\Omega$, pero podemos permitir que el asunto de la pieza de la teoría a ser, es decir, de la distribución? Normalmente siempre vamos a comenzar con una acción:

$\mathcal{S} = \int_{d \Omega} d^{4} x \sqrt{-g} (\mathcal{L}_{Field} + \mathcal{L}_{Matter})$

De Euler-Lagrange y menos principios de acción conduce a las ecuaciones de campo con $\delta \mathcal{S} = 0$.

En particular, estoy interesado en la teoría de la relatividad general en la que hemos $\mathcal{L}_{Field}$ es sólo el de Einstein-Hilbert de Lagrange $\mathcal{L}_{Field} = R$ conduce a las ecuaciones de campo (evitando constantes):

$R_{\mu \nu} - \frac {1} {2} g_{\mu \nu} R = T_{\mu \nu}$

Donde, mediante la construcción de Hilbert, $T^{\mu \nu} = 2 \frac {\delta \mathcal{L}_{Matter}} {\delta g_{\mu \nu}} + g^{\mu \nu} \mathcal{L}_{Matter}$.

Lo que si que ahora permiten a $T_{\mu \nu} \in L^{1}(\Omega)$ o $T_{\mu \nu} \in H^{1}(\Omega)$? Es decir, podemos reducir las exigencias de regularidad en la que la tensión tensor de energía y permitir que residen en un menor espacio normal.

Interesantes ejemplos que se me ocurren de la forma:

i) $T_{\mu \nu} \propto \rho(t,r) \delta{(t - t_{0})}$; esto podría permitir una inserción de una singularidad cosmológica relacionadas con el big bang o algo de esta naturaleza? Quizás generalizado de las ecuaciones de Friedmann podría ser desarrollado relativas a este y podría proporcionar un semi-clásica de análisis de los big bangs desarrollo.

ii) por lo general un (perfecto) de líquido está modelada por el de Euler tensor de tensiones $T_{\mu \nu} = \rho v_{\mu} v_{\nu} + P \delta_{\mu \nu}$ donde uno, a continuación, permite a $\rho$ $P$ describir la distribución de la materia de la estrella. Si uno en su lugar emplea una distribución de objetos en lugar de eso, a decir que incluso un Gaussiano y tener la más densa de la materia más cerca del núcleo o algo así que podría producir una fructífera enfoque alternativo? Se podría investigar la evolución estelar (o al menos el lugar de los límites) de las estrellas con (algo) no especificado materia de conjuntos.

iii) el movimiento Browniano en la vecindad de los agujeros negros o de otros objetos densos; uno podría tener $T_{\mu \nu}$ a parecerse a un proceso de Wiener permitiendo ciertas atómica anomalías para desviar las partículas camino a medida que cae hacia estos objetos. Esto puede tener consecuencias para las cosas tales como gravitacional de la radiación de onda.

Hay algunos hermosos matemáticas que permite a algunos análisis sobre estos objetos utilizando espacios de Sobolev y incrustaciones; (Benilan et al., "Una $L^1$-Teoría de la Existencia y Unicidad de Soluciones no Lineal de Ecuaciones Elípticas"; A. Prignet "Observaciones sobre la existencia y unicidad de soluciones de elíptica problemas con el lado derecho de la medida"; trabajo que se realiza por Boccardo Y Gallouet, etc.) Naturalmente, estos documentos se refieren a elíptica problemas, pero presumiblemente uno puede emplear sus métodos de uso de 3+1 ADM divisiones o algo de esa naturaleza. He visto trozos y piezas de esta maquinaria que se utiliza en el contexto de electromagnetismo, sino que parecen ser evitado en gran medida por la comunidad de la física.

Tiene cualquier trabajo que se ha hecho en relación a este tipo de ideas?

Gracias por la entrada!

Answer 1

Voy a tratar de reformular su pregunta primero. Las Ecuaciones De Campo De Einstein

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=8\pi T_{\mu\nu}$

son (como es sabido) un sistema de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas (que se pueden derivar de un principio de acción, aunque no veo la relevancia de este punto aquí). Como tal, dan lugar a un problema de valor inicial, es decir, dado un conjunto de condiciones iniciales, por lo general una de riemann colector junto con curvatura extrínseca de datos y los datos adicionales de la materia campos, para encontrar una de lorenz colector de satisfacer las Ecuaciones de Einstein tal que la inicial de datos corresponde a un determinado hipersuperficie (y los campos definidos dentro de ella). En otras palabras, tenemos resultados para la existencia y unicidad de soluciones.

El clásico resultado de Y. Choquet-Bruhat y R. Geroch proporciona mundial de existencia y unicidad para suavizar los datos iniciales. Aquí, supongo, se encuentra a su pregunta, a saber. podemos relajar la suavidad de la asunción y trabajar en la reducción de la regularidad de los datos iniciales de los espacios?

La mayoría, sin duda, sí! Un poco de la vieja referencia es Klainerman y Rodnianski de 2001, que demuestran resultados para inicial de los datos de $H^{2+\epsilon}$. Tenga en cuenta que la energía mommentum tensor es que no se parte de los datos iniciales como tal, pero de manera indirecta , en la medida de lo que es dado por la configuraciones del campo. Como una nota del lado, una guía dice que usted necesitará $T_{\mu\nu}$ a de ser de al menos diferenciable, debido a que usted necesita hacer cumplir los locales de conservación de la energía $\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0$. Esta declaración es el origen de la frase común que la métrica debe ser de al menos $C^3$, dado que la curvatura contiene las segundas derivadas.

No estoy muy informado sobre este particular el área de la investigación, pero el año pasado asistí a una conferencia donde Piotr Chrúsciel dio una charla en la mejora de esta resultados para incluso menos regular inicial de los datos, así que supongo que sigue siendo un buen tema en matemática de la relatividad de einstein.

EDIT: El hablar Chrúsciel dio fue basado en este trabajo, en los que se discute de lorenz de la causalidad de las métricas que son sólo continua, pero no derivable (causalidad resultados son esenciales en la Choquet-Bruhat-Geroch de papel). Es interesante que se muestra que $C^0$ métricas han extraña estructura causal, es decir, hay conjuntos de puntos accesibles a null curvas pero no timelike. Gráficamente significa que el cono de luz pueden llegar a "grasa". En ella encontrarás un montón de referencias a nuevos resultados para baja regular de datos inicial, que complementa la Klainerman Rodnianski resultado. Un buen compañero para este papel es este uno, también de Chrúsciel, que le da el estado de la técnica de los resultados en la teoría de la causalidad, lo que indica cómo regular la métrica debe ser para cada teorema.

En relación al potencial de interés, al menos desde mi punto de vista, la idead es que con menos regularidad, tenemos un mejor control del comportamiento de las Ecuaciones de Einstein, lo que significa que las soluciones son menos dependientes de los detalles de los datos iniciales. Aquellos que se sienten más tranquilos, a continuación, sería el número de la Relatividad de la gente.

De tu lista me gustaría comentar de esa manera

i)El objeto de mencionar que no corresponden a las singularidades en la relatividad general. El punto principal de las singularidades son la geodesical incompletness del colector, y muchas de las técnicas de ignorar por completo el PDE pregunta en él, véase e. g. Wald de la "Relatividad General". Desde el punto de vista físico el problema cuando se trabaja con singularidades no es un problema de la baja de la regularidad de la solución, sino que esperamos que la gravedad cuántica de ser relevante. Por lo tanto creo que es justo decir que nadie espera que las singularidades de por sí para tener una resolución en el clásico de la relatividad. Incluso si tal enfoque existido no está claro sería físicamente relevante.

ii)en la Actualidad (uno de) el mayor problema en la evolución estelar es la extrema sensibilidad de la masa de los límites y ese tipo de cosas con respecto a la ecuación de estado $\rho(p)$. Por lo tanto, la mayor parte de la investigación está dedicada a los materiales nucleares y sub-física nuclear (he encontrado este diapositivas, que dan una idea general de la carrera para restringir el enorme número de diferentes ecuaciones de estado). Pero puede ser un enfoque interesante, aunque no estoy seguro de por dónde van a ir, yo sin duda estaría interesado en escuchar acerca de él.

iii)el movimiento browniano Relativista es un tema espinoso, dada la pérdida de markovian de la propiedad. No estoy seguro de que esto iba a ir bien.

Como comentario final, se utiliza una (aparentemente) definición diferente de la clásica y semi-clásica campo de las teorías, en menos de lo que solemos ver en la gravitación de la comunidad. Clásica Campo Thoeries son aquellos que no dependen de la mecánica cuántica en cualquier forma, sea relativista, como eletromagnetism, o no-relativista, como la clásica cadena de problema. Semi-clásica de la teoría de campo de los medios de tratamiento de la materia mecánica cuántica, pero la gravedad classicaly, un famoso resultado es la radiación de Hawking. En este contexto, campos cuánticos más clásica spacetimes, la distribución de la energía-mommentum tensores son frecuentes, debido a la naturaleza cuántica de la materia involucrada. Lidiar con los problemas que aparecen de tener este distribuciones está haciendo renormalization en la curva spacetimes. Si usted es aficionado de análisis funcional en este contexto se podría tratar de echar un vistazo en Fulling del libro.