Es $\mathbb{C}^n$ ¿un álgebra C*?

Question

Hola, soy nuevo en el aprendizaje del álgebra C*. Sé que en el marco de la habitual $\mathbb{C}^n$ -normas, $\mathbb{C}^n$ es un espacio de Banach. Sin embargo, lo que será una multiplicación intuitiva en $\mathbb{C}^n$ para que el habitual $\mathbb{C}^n$ -¿la norma será submultiplicativa? De hecho, debería demostrar que la $\mathbb{C}^n$ -norma es una norma C* también. Estaba intentando la multiplicación puntual pero me quedé atascado en los cálculos.

Editado (mis cálculos): He utilizado para $u=(u_1,u_2,...,u_n),v=(v_1,v_2,...,v_n)\in \mathbb{C}^n$ , $uv= (u_1v_1,u_2v_2,...,u_nv_n)$ . Así que estoy tratando de proceder en probar $\|uv\|_n \le \|u\|_n \|v\|_n$ . En particular estoy atascado en probar que $\|uv\|_n=\|(u_1v_1,u_2v_2,...,u_nv_n)\|_n \le \|u\|_n \|v\|_n$ . Lo que quiero decir es que no sé cómo "dividir" $(u_1v_1,u_2v_2,...,u_nv_n)$ en relaciones de $(u_1,u_2,...,u_n)$ y $(v_1,v_2,...,v_n)$ .

Otra edición: Por las respuestas de abajo, $\mathbb{C}^n$ no será un álgebra C* bajo la habitual $\mathbb{C}^n$ -normas.

Answer 1

Puedes escribir $(\Bbb C^n, \lVert\cdot\rVert_p)=L^p(\Bbb Z/n\Bbb Z) = L^p(G)$ el grupo interno es compacto, por lo que cuando $p\ge 1$ tienes una estructura de espacio de Banach y la convolución habitual sobre funciones sobre un grupo compacto te da una estructura de álgebra, dada como

$$(f\star g)(x)=\int_G f(y)g(x-y)\,dy.$$

Aquí "-" significa la sustracción en la estructura del grupo en $G$ . En su caso, la integración es sólo una suma, por lo que es más fácil reconocerlo como

$$(f\star g)(x)=\sum_{i=1}^n f(y_i)g(x-y_i)$$

con la suma sobre $y_i\in G$ . Si no está familiarizado con esta construcción, es análoga a la realizada en $L^1(\Bbb R^d)$ y Wikipedia tiene una breve mención de la construcción. La hipótesis "unomodular" a la que aluden se cumple en los grupos abelianos compactos (significa que hay una medida uniforme, y para los grupos finitos se ve fácilmente que esto es cierto asignando a cada punto la medida $|G|^{-1}$ .

Editar Me quedé demasiado atrapado en la estructura del álgebra de Banach, dejé de lado el $C^*$ condición. Para el $C^*$ estructura, hay que afinar un poco, usando la norma del infinito vemos que $f\mapsto\overline{f}$ es el requerido $*$ operación. La norma se preserva claramente de esta manera ya que el sup de $|\overline{f}|$ no cambia y $\lVert f^*f\rVert_\infty = \sup |f\overline{f}|=\sup |f|^2$ por la positividad del valor absoluto, esto es claramente $(\sup |f|)^2$ que es el producto de las dos normas (esto no funciona para $p<\infty$ que puede comprobar fácilmente).

Pero es importante señalar que esto no funciona para $p=2$ lo que significa que tu pregunta falla para la norma habitual inducida por el producto interno hermitiano.