Mis conjeturas son que:
1) $e_{11}=e_1$ es decir, una errata. Yo habría utilizado la notación $e_{11}$ y $e_{22}$ en lugar de $e_1$ y $e_2$ para que sea más fácil recordar que realmente son matrices de 2x2. POR OTRO LADO, $e_1$ y $e_2$ son notaciones estándar para los idempotentes, así que también entiendo la elección de los autores. Es posible que el autor haya cambiado la notación en algún momento, y nadie se haya dado cuenta de hacer el cambio aquí.
2) Aquí hay otro abuso típico de la notación. El símbolo $x_2$ representa un vector en el espacio $X_2$ (igualmente $x_1\in X_1$ ). Cuando nos ponemos de acuerdo para hablar del espacio $X$ como una suma directa $X_1\oplus X_2$ de sus dos subespacios tenemos que pagar el precio de hacer ciertas identificaciones. Un vector $x_2\in X_2$ puede verse como un elemento de $X$ . porque $X_2$ es un subespacio de $X$ . Pero cuando escribimos $X=X_1\oplus X_2$ y, en consecuencia, utilizar la notación vectorial $(x_1,x_2)$ para sus elementos, debemos identificar $x_2$ con $(0,x_2)$ . Del mismo modo, debemos identificar todos los elementos $x_1\in X_1$ con el vector $(x_1,0)$ . Al principio de los estudios de álgebra se distingue entre interior y exterior suma directa. Cuando se alcanza un determinado nivel de madurez, la distinción se difumina. Puede que el autor haya saltado a este punto demasiado pronto, o puede que no. No puedo asegurarlo. De todos modos, una vez que se piensa en $x_2$ como el vector $(0,x_2)$ siempre que sea necesario, su problema debería desaparecer.
