Differentiability de la función de la distancia

Question

Supongamos que $d:X \times X \to \mathbb{R}$ es una geodésica función de distancia sobre una superficie suave de Riemann colector de $X$ ($d$ se determina por el tensor métrico) y $x \in X$ es fijo. ¿Qué se puede decir acerca de los puntos en que $f:=d(x,\cdot)$ es diferenciable? En particular:
-es posible que $f$ es diferenciable en todas partes?
-lo grande que es el conjunto de puntos en los que el $f$ no es diferenciable puede ser?
- ¿qué puede decirse acerca de la estructura del conjunto de punto en el que $f$ no es diferenciable (puede ser un submanifold?)
Estaría agradecido si alguien pudiera arrojar algo de luz sobre estas cuestiones.

Answer 1

Travis ejemplos tienen una explicación general - completa sobre cualquier conectadas $n$-colector, la función de distancia $d(p,\cdot)$ es suave en todas partes, excepto en $p$ y en el locus corte de $p$. (Se puede llegar a esta conclusión mediante el estudio de la exponencial mapa - ver, por ejemplo, el Capítulo 5.9 de Petersen de la Geometría de Riemann.)

Por lo tanto tu pregunta cantidades para el estudio de la estructura de la corte, el locus, el cual ha sido objeto de muchas investigaciones en las últimas décadas; así que mientras yo no estoy demasiado familiarizado con el mismo, usted debería ser capaz de encontrar muchos documentos pertinentes en línea. Mientras que la imagen que tengo en mi cabeza de la corte locus es un submanifold, estoy bastante seguro de que hay degenerados casos en los que, al menos, perder la diferenciabilidad.

Si estoy interpretando el teorema principal de este artículo correctamente, se puede concluir que el locus corte ha dimensión de Hausdorff en la mayoría de las $n-1$, y por lo tanto que la función de distancia es casi en todas partes diferenciables, que responde a "lo grande" pregunta.

Answer 2

Excepto en $0$-colectores, $f$ nunca va a ser suave, o incluso $C^1$: En condiciones normales de coordenadas $(u^i)$ centrado en $x$, $f(u) = \sqrt{u_1^2 + \cdots + u_n^2}$ por lo suficientemente pequeño $u$, y así, en particular, $f := d(x, \, \cdot \,)$ siempre tiene una singularidad aislada en $x$.

Para $X = \mathbb{R}$, $$f(t) := d(o, t) = |t|,$$ which is nondifferentiable only at $0$, and $\{0\}$ is of course a submanifold. For $X = \mathbb{S}^n$, $f$ has discontinuities at $x$ and its antipodes. The only connected Riemannian $1$-manifolds up to isometry are $\mathbb{R}$ and $\mathbb{S}^1$, and so for such manifolds, the singularity set is always a submanifold, with one or two points. The second example shows that the singularity set can be a ($0$-)submanifold no matter $$n.

En el verdadero espacio proyectivo $\mathbb{RP}^n$, dotado de la métrica inducida por la ronda métrica a través de la cubierta $\pi: \mathbb{S}^n \to \mathbb{RP}^n$,$[x] = \pi(x)$, el conjunto de la discontinuidad es $\{ [x] \} \cup \mathbb{RP}^{n - 1}$ donde $\mathbb{RP}^{n - 1}$ es la imagen de $(n - 1)$-esfera ortogonal a$x$$\mathbb{S}^n$, lo que muestra que para $n > 1$ la singularidad no es en general un submanifold, y que puede tener componentes que son hypersurfaces.

No sé si de improviso de un componente conectado de la singularidad conjunto debe ser un submanifold.

Answer 3

Por ejemplo, podemos tomar un $(x_0,\frac{1}{2})$ $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$% y Geodesia $y=\pm\frac{x_0}{2}x$. Obviamente, $x_0\leqslant \frac{1}{2}$ estas dos líneas son geodésicas más cortos. Y si movemos el punto superior o inferior, entonces la distancia tiene un positivo derivado de la unilateral y por lo tanto no es diferenciable en ningún punto de $\{y=\frac{1}{2}\}$. Lo mismo para $\{x=\frac{1}{2}\}$.

Subconjunto de puntos singulares no es un subvariety.