Problema de Olimpiada hermoso casillero

Question

Usted tiene un conjunto de arcos separados en un círculo de circunferencia $1$ con la suma de longitudes mayores de $1-\frac{1}{n}$.

Muestran que hay una regular $n$-gon tal que cada uno de sus vértices se encuentra en uno de los arcos.

Answer 1

Promedio el número de vértices cubiertos sobre las posibles posiciones de $n$-gon. El resultado es mayor que $n(1-\frac1n)=n-1$. Puesto que el número de vértices cubiertos es un entero, se deduce que hay al menos una posición con vértices de $n$ cubierto.