Para cualquier conjunto a $X$, podemos considerar que el orden parcial $\mathbb{P}$ que consta de todos finito de funciones parciales de$\omega$$X$, ordenado por extensión. Si $G\subset\mathbb{P}$ $V$- genérico para esta obligando noción, a continuación, $f=\cup G$ es una función de $\omega$ a $X$. Es una función, ya que las condiciones en $G$ son compatibles; es total, ya que es muy denso para agregar cualquier punto dado en el dominio; y es surjective, ya que para cualquier $x\in X$ el conjunto de las condiciones de $p$ $x\in\mathop{ran}(p)$ es densa. Por lo tanto, en el forzamiento de la extensión de $V[G]$, la $X$ se convierte contables. Esta es la forma en que cualquier conjunto de hechos contables, obligando. Desde el forzamiento de la noción $\mathbb{P}$ es un conjunto, se desprende también que el $V[G]\models ZFC$.
En el caso de que $X$ es arbitraria adecuado de la clase, uno todavía puede formar el orden parcial $\mathbb{P}$ que consta de todos finito de funciones parciales de$\omega$$X$, y seguirá siendo cierto que la unión del filtro genérico será una función de$\omega$$X$, haciendo de ese $X$ contables en $V[G]$. Pero, ¿no será verdad en esta clase de forzar el caso es que $V[G]\models ZFC$. De hecho, si $X$ es una clase adecuada, entonces el correspondiente forzando la extensión definitivamente no satisfacer ZFC, ya $X$ contendrá los miembros de arbitrariamente grande ordinal rango (que aparecen unboundedly de alta en el $V_\alpha$ de la jerarquía), el forzamiento de la extensión tendrá una función de $\omega$ ilimitado en los ordinales, en violación del axioma de Reemplazo. Así que el precio que se paga por tomar una clase adecuada $X$ contables es que usted debe renunciar a ZFC en el forzamiento de la extensión. De hecho, si $X$ es una clase adecuada en $V$, $X$ contiene elementos de unboundedly de alto rango, y esto seguirá siendo así en cualquier extensión de $V$ a un modelo de $W$ con el mismo ordinales; por lo tanto, $X$ no va a ser un conjunto que en cualquier tipo de $W$.
Así que, para responder a su pregunta: cada conjunto puede ser contables en un forzando la prórroga por un conjunto de forzamiento (y por lo tanto, mientras que la preservación de ZFC), pero no la clase adecuada puede convertirse en un conjunto en cualquier extensión del universo a un modelo de ZF con el mismo ordinales.
Edit. Ahora veo que desee considerar la posibilidad de arriba
las extensiones de los modelos, no sólo obligando a las extensiones.
Hay un par de observaciones que hacer sobre esto. Tengo
han interesado en este tema durante algún tiempo.
La cuestión es la medida en que un modelo de $M$ de
la teoría puede convertirse en el $(V_\theta)^N$, para algunos más de un
taller modelo de la teoría de conjuntos.
En primer lugar, defiendo que cada modelo de $M$ de la teoría de conjuntos puede ser
elementarily incrustado en el $V_\theta$ de otro modelo
de la teoría de conjuntos $N$, e incluso se puede arreglar eso $(V_\theta)^N\prec N$.
Este es un sentido en el que $M$ es
continuó como el deseo de un taller modelo. Usted puede comprobar esto por un
simple compacidad argumento mediante el diagrama de primaria
de $M$, el aumento de la teoría con una nueva constante símbolo
$\dot\theta$ y la afirmación de que la teoría del derecho
sostiene. Esta teoría es finitely consistente por un
aplicación del teorema de Reflexión.
En segundo lugar, algunos modelos de $M$ de la teoría de conjuntos no se dio cuenta
directamente como el $V_\theta$ de un taller modelo. Para
ejemplo, esto es cierto en cualquier pointwise definibles por el modelo (un
modelo en el que cada elemento es definible sin
los parámetros), ya que el modelo más grande, tendría entonces que ver
cada elemento de a $V_\theta$ es definible en $V_\theta$,
lo que estaría en contradicción con que el modelo más grande, piensa que es
incontables.
Tercero, cada contables computably saturado modelo de $M$ de
la teoría se dio cuenta de que la $V_\theta$ de un taller modelo.
En efecto, cada contables computably saturado modelo de ZFC
es isomorfo a uno de sus propios $V_\theta$'s, y por
mirando las cosas desde la perspectiva de que la copia, la
resultado obtiene. Harvey Friedman fue el primero en probar
los resultados de este tipo, concentrándose en primer lugar en
no estándar de los modelos de PA. Usted puede encontrar una cuenta de la
argumento en mi reciente de papel con Victoria Gitman en "Un modelo natural de la multiverso axiomas,"
La catedral de Notre Dame Diario de la lógica Formal, vol 51,
2010.
Una de las cosas que probar es que el si $M$ es una contables
computably saturado modelo de ZFC, entonces $M$
isomorfo a un elemento de $M$ que piensa que es una
$\omega$-no estándar del modelo de la teoría de conjuntos. Por lo tanto, cada
contables computably saturado modelo de ZFC existe como un
no estándar del modelo dentro de otro modelo mejor.
En cuarto lugar, es posible demostrar que cada contables transitiva modelo de la teoría de conjuntos puede ser final extendido a una (posiblemente no estándar) modelo de V=L, que es bien fundada para cualquier contables de altura. La razón es que esta afirmación es verdadera en $L$ sí, y la declaración de la complejidad de la $\Pi^1_2$ en un código de la estructura, de modo que es cierto en $V$ por Shoenfield absolutenss.
