Varianza del proceso de llegada con distribución exponencial cambiada de puesto de

Question

Aquí tenemos un proceso de llegada. El tiempo entre llegado sigue una distribución exponencial negativa cambiada de puesto. La función de densidad de la distribución es:

$$f(t)=\lambda e^{-\lambda(t-\theta)},\quad\text{ where }t\ge\theta$$

¿Cómo obtener la variación del número de llegadas en el período de $T$?

Answer 1

Suponiendo que la inter-llegadas decir $X_n$ ($n \geqslant 1$) son independiente, tiene un proceso de renovación, ver, por ejemplo, este curso, o la referencias clásicas citado en: el libro de D. R. Cox Renovación La teoría o el uno por S. Karlin y H. M. Taylor de Primer Curso en Procesos estocásticos, vol. 1 cap. 5.

El $n$-ésimo tiempo de llegada de $t=0$ es la suma de $S_n:= X_1 + X_2 + \dots + X_n$ for a specific initial condition: when $t=0$ es un la hora de llegada. A continuación, $X_1$ es distribuido como son las $X_n$ $n > 1$. Una variante lleva a una específica distribución estacionaria para el primer arribo $X_1$, que conduce a la renovación estacionario proceso. La condición inicial aún no tiene ningún impacto en el largo plazo.

Deje $N(t)$ el número de llegadas a las $(0,\,t)$. Al $t$ es grande, una renovación teorema establece que $N(t)$ es aproximadamente normal con una media de $t/\mu$ y la varianza $t \sigma^2 / \mu^3$ donde $\mu$ $\sigma^2$ son los inter-llegada la media y la varianza. En su caso, el teorema de se aplica con $\mu = \theta + 1/\lambda$$\sigma = 1/\lambda$.

La distribución de $N(t)$ también se puede encontrar al darse cuenta de que $\text{Pr}\{N(t) \geq n\} = F_n(t)$ donde $F_n$ es la distribución la función de la suma de $S_n$, y por lo tanto $\text{Pr}\{N(t) = n\} = F_n(t) - F_{n+1}(t)$. In your case, $X_n = X_n^\star +\theta$ donde $X_n^\star$ sigue un estándar exponencial con media de $1/\lambda$, por lo que $F_n(t) = F_n^\star(t-n\theta)$ donde $F_n^\star$ es la función de distribución de la suma de $S_n^\star$ en relación a la $X_k^\star$, y un explícito fórmula basada en la distribución de Erlang puede ser utilizado en los cálculos numéricos. Asumir una llegada en $t=0$ y deje $t^\star := t -n \theta$; si $t^\star > 0$, luego $$ F_n^\estrella(t^\star) = 1 - \sum_{k=0}^{n-1} e^{-\lambda t^\estrella} \frac{(\lambda t^\estrella)^k}{k!} = \text{Pr}\left\{N^\estrellas \ge n \right\} $$ donde $N^\star$ es de Poisson con una media de $\lambda t^\star$. Una similar la fórmula puede usarse para $F_{n+1}(t)$. El número de probabilidad de masas $\text{Pr}\{N(t) = n\}$ ser calculada debe ser tal que el total de la masa está cerca de a $1$.

theta <- 0.4; lambda <- 1.0;
mu <- theta + 1 / lambda; sigma <- 1 / lambda
t <- 10; 

## asymptotic 'Exp'ectation and 'Var'iance from the central limit renewal thm
aExpN <- t / mu
aVarN <- t * sigma^2 / mu^3

## compute the distribution: 'nMax' should be chosen suitably.
## Pr{ N(t) = n } is 'prob[n + 1]' since array indices are >= 1 
nMax <- 100; prob <- rep(0, nMax + 1)
for (n in 0:nMax){
  tStar <- t - n * theta
  if (tStar > 0) {
      prob[n + 1] <- prob[n + 1] +
          ppois(n - 1, lambda = lambda * tStar, lower.tail = FALSE)
  }
  tStar <- t - (n + 1) * theta
  if (tStar > 0) {
      prob[n + 1] <- prob[n + 1] -
          ppois(n, lambda = lambda * tStar, lower.tail = FALSE)
  }
}
names(prob) <- 0:nMax
ExpN <-  sum((0:nMax) * prob)
VarN <- sum((0:nMax)^2 * prob) - ExpN^2

## compute (estimate) expectation and variance using a simulation 
nSim <- 500000
set.seed(12345) ## to be reproducible
X <- theta + matrix(rexp(100 * nSim, rate = lambda), nrow = nSim, ncol = 100)
Nsim <- apply(X, MARGIN = 1, FUN = function(x) { sum(cumsum(x) < t) } )

## compare empirical and numerical distributions
prob1 <- table(Nsim) / length(Nsim)
prob2 <- cbind(prob1, prob[names(prob1)])
colnames(prob2) <- c("sim", "num")
barplot(t(prob2), beside = TRUE, legend = TRUE,
        main = sprintf(paste("distr. of the number of arrivals",
            "lambda = %5.2f, theta = %5.2f"), lambda, theta))

## compare Expectation and variance
res <- rbind(asympt = c(aExpN, aVarN),
             sim = c(mean(Nsim), var(Nsim)),
             num = c(ExpN, VarN))
colnames(res) <- c("Exp", "Var")
res