A veces uno oye "el functor olvidadizo $Ab \to Grp$." Dado que la imagen de un objeto bajo este functor es abelian, ¿en qué sentido es "olvidadizo"?
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jmans
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Olvidadizo functor puede olvidarse de la estructura, pero también puede olvidarse de propiedades. Así, por ejemplo, el olvidadizo functor $Ab \to Set$ se olvida de la estructura (la operación binaria se define el grupo) y el olvidadizo functor $Top\to Set$ también se olvida de la estructura (la topología en el set). Olvidadizo functors que olvidar propiedades incluyen, además de a $Ab \to Grp$, olvidadizo functors como $Fld \to Ring$, $ComRing \to Ring$, $ComMon \to Mon$ y así sucesivamente.
Es importante darse cuenta de que no es lo que hace que un objeto dado lo que importa, sino cómo ese objeto se relaciona con el resto del mundo. Por lo tanto, el cambio de lo que el resto del mundo, o el cambio de los morfismos (es decir, cómo el objeto se relaciona con el resto del mundo) hace una gran diferencia.
Como un ejemplo extremo, considerar la categoría de $CLat$ completa de celosías y $CSLat$ de completar semilattices. Ahora, cada semilattice es automáticamente un completo entramado. Sin embargo, estas categorías son muy diferentes debido a cómo los morfismos son definidos. En $CLat$ los morfismos son necesarios para preservar tanto arbitraria cumple y arbitraria une. En $CSLat$ sólo son necesarias para preservar la arbitraria cumple. Por lo tanto, hay un functor $CLat \to CSLat$ que es la identidad en tanto objetos y morfismos. Sin embargo, esto también es un olvidadizo functor. Lo que se olvida este momento no es una estructura ni de la propiedad, sino más bien algo de lo que morfismos debe preservar.
El artículo de la wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Forgetful_functor y el nlab artículo http://ncatlab.org/nlab/show/forgetful+functor responder a su pregunta. En la categoría de la teoría de un objeto matemático no es considerado como un conjunto adicional de la estructura, sino como un objeto de una categoría fija. Incluso si un objeto se mantiene la misma cosa establecer-en teoría, después de la aplicación de un olvidadizo functor, es un objeto diferente, debido a que la categoría ha cambiado. Por ejemplo, un objeto de la categoría de grupos, que pasa a ser un grupo abelian no es realmente un objeto de la categoría de abelian grupos (tal vez esto es cierto conjunto-en teoría, pero esto no importa en absoluto), sino que se encuentra en la imagen de la olvidadizo functor de abelian grupos a los grupos, y su preimagen no debe ser confundido con itsself! Esto parece ser un poco pedante, especialmente cuando no la estructura, pero sólo la propiedad está olvidado, pero hay un montón de beneficios desde este punto de vista. Por ejemplo, a veces me vienen a través de los papeles que escribir algo como $\mathbb{Z} + \mathbb{Z}$. Bueno, no $+$ se refieren a la subproducto en la categoría de grupos, o la categoría de abelian grupos? Siempre estoy confundido. Muchos de los estudiantes interpretan la construcción de los números complejos como $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ - que es inprecise porque en realidad $U(\mathbb{C})=\mathbb{R}^2$ donde $U$ es el olvidadizo functor de, digamos, $\mathbb{R}$-álgebras de a $\mathbb{R}$-módulos. Hay muchas más razones por las $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ es engañosa, ver las matemáticas.SE/5108. Si sólo la categoría de teoría sería más apreciada ...
phani
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Dado que "olvidadizo functor" no de acuerdo con la definición, esta pregunta es un poco suave, y tal vez deben ser etiquetados como tales. Así que todo esto es una cuestión de gusto personal.
Como podemos leer en la Wikipedia en general, pero no siempre, "olvidadizo" functors son fieles y han dejado adjoints.
Sin embargo, el functor $Ab \to Grp$ debería ser llamado "la inclusión functor", porque no es sólo fiel - como la mayoría de los olvidadizos functors - pero también inyectiva sobre los objetos. Y este es un distinguido característica de la "inclusión functors". Usted puede leer esto aquí. Debido a esto, podemos decir que $Ab$ es una subcategoría de $Grp$. Desde este particular functor es también completo, podemos decir que $Ab$ es una subcategoría de $Grp$.
También el otro functors mencionado por @Ittay: $Fld \to Ring$, $ComRing \to Ring$, $ComMon \to Mon$ son la inclusión functors.
