Esperanza y varianza del estimador de razón

Question

Que $X$ $Y$ ser positivas variables aleatorias tales que $$E(Y\mid X)= aX $ $ $$\operatorname{Var}(Y\mid X) = b^2X^2 $$ $$a,b > 0 \text{ are constants}.$ $ Let $R = \dfrac{\bar{Y}}{\bar{X}}=\dfrac{\sum_{i=1}^nY_i}{\sum_{i=1}^nX_i}$.

¿Hay una manera fácil de solucionar para $E(R)$ y $\operatorname{Var}(R)$ utilizando la información anterior, sin tener que tomar la expansión de la serie de Taylor de $\frac{\bar{Y}}{\bar{X}}$ alrededor de $\mu_X,\mu_Y$?

Answer 1

Hay una manera sencilla para calcular la expectativa de $R$, siempre y cuando uno hace mucho más preciso que el estocástico estructura de las muestras... es decir, la introducción de $Z_i=(X_i,Y_i)$, uno debe asumir que la secuencia de $(Z_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ es yo.yo.d. Y la varianza es otra, más complicada, la historia.

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Introducir las variables aleatorias $S_n=X_1+\cdots+X_n$$T_n=Y_1+\cdots+Y_n$, por lo tanto $R_n=T_n/S_n$. Deje $\mathfrak X_n$ denotar la sigma-álgebra generada por $(X_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$.

Para calcular la expectativa de $R_n$, tenga en cuenta que, para cada $i\leqslant n$, $E(Y_i\mid\mathfrak X)=E(Y_i\mid X_i)=aX_i$ por lo tanto $E(T_n\mid\mathfrak X_n)=aS_n$$E(R_n\mid\mathfrak X_n)=E(T_n/S_n\mid\mathfrak X_n)=E(T_n\mid\mathfrak X_n)/S_n=a$. En particular, $$E(R_n)=a. $$ En cuanto a la varianza, uno puede comenzar a partir de $$ T_n^2=\sum_iY_i^2+\sum_{i\ne j}Y_iY_j $$ y tenga en cuenta que, para cada $i\leqslant n$, $E(Y_i^2\mid\mathfrak X_n)=E(Y_i^2\mid X_i)=(b^2+a^2)X_i^2$ y, para cada $i\ne j$, $$E(Y_iY_j\mid\mathfrak X_n)=E(Y_iY_j\mid \sigma(X_i,X_j))=E(Y_i\mediados de X_i)E(Y_j\mediados de X_j)=a^2X_iX_j. $$ Este implica $$ E(T_n^2\mid\mathfrak X_n)=\sum_i(b^2+a^2)X_i^2+\sum_{i\ne j}^2X_iX_j=b^2\sum_iX_i^2+a^2S_n^2. $$ Dividiendo por $S_n^2$, tomando las expectativas y utilizando el valor de $E(R_n)$, se obtiene $$\text{Var}(R_n)=b^2\left(\frac{U_n^2}{S_n^2}\right),\qquad U_n^2=X_1^2+\cdots+X_n^2. $$ Esto reduce el $\text{Var}(R_n)$ a una expresión con (el valor de $b$ e) la distribución marginal de la $X_i$s solo, pero no hay una fórmula general para $\text{Var}(R_n)$ en términos de $n$, $a$ y $b$. La excepción es el caso de $n=1$ desde $U_1^2=X_1^2=S_1^2$ por lo tanto $\text{Var}(R_1)=b^2$.

Editar:

(1) Para cada $n\geqslant1$, $\text{Var}(R_n)=nb^2E\left(\dfrac{X_1^2}{S_n^2}\right)\geqslant\dfrac{b^2}n$.

(2) Si el $X_i$s son uniforme en un intervalo de $[0,x]$, a continuación, para cada $n\geqslant1$, $\text{Var}(R_n)=\dfrac{2b^2}{n+1}$.

Answer 2

Estoy haciendo el caso para $n=1$ sólo para facilitar la notación. Para la expectativa, a condición de $X$: $ $$E[R] = E[E[R|X]] = E[a] = a$ para la varianza tenemos: $$Var[R] = E[Var[R|X]] + Var[E[R|X]]$$$$E # [Var [R | X]] = E [b ^ 2 X] = b ^ 2E [X] $$ $$Var[E[R|X]] = Var[a] = 0$ $ * claridad: para pasar de 1 $n$, condición apenas ahora en el vector valorada $(X_1, X_2, X_3, \ldots X_n)$, donde supongo $X_i \sim X, Y_i \sim Y$. Todo funciona de la misma.