Que $X\sim \mathcal{N(\mu,\Sigma)}$ entonces una transformación afín $AX+b$ será también un vector aleatorio gaussiano. ¿Hay cualquier transformación no afín $f$ tal que $f(X)$ también es un vector aleatorio gaussiano?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Hay un gran número de no-transformaciones afines que va a preservar la normalidad de una variable.
Para facilitar la exposición, vamos a centrarnos en el caso unidimensional con una variable aleatoria normal $X$ con función de distribución de $F$. Tenga en cuenta que la pregunta puede ser reducido a la situación análoga con el uniforme de la variable aleatoria por medio de la probabilidad de transformación integral
$$U = F^{-1}(X).$$
Cualquier función medible $\phi:[0,1]\to [0,1]$ que conserva probabilidad induce una probabilidad de preservación de la transformación de $X$ a través de
$$\phi^F: X \to F(\phi(F^{-1}(X))).$$
Tales funciones $\phi$ puede llegar a ser muy complejo. Para ilustrar, me voy a centrar en aquellos que son lineales, con una pendiente $1$, pero con un número finito de puntos. Ejemplos puede ser construido por la elección de cualquier entero positivo $n$, tallado en el intervalo de $[0,1)$ a $n$ intervalos iguales $I_i = [(i-1)/n, i/n)$$i=1, 2, \ldots, n$, y la aplicación de una permutación arbitraria $\sigma$ a los intervalos. Cualquier $t\in[0,1)$ se encuentra únicamente en el intervalo con el índice de $i = 1 + \lfloor t/n \rfloor$. Para $t \in[0, 1)$, definir
$$\phi_\sigma(t) = t - \frac{i-1}{n} + \frac{\sigma(i)-1}{n} = t + \frac{\sigma(i) - i}{n}$$
y de lo contrario vamos a $\phi_\sigma(t)=t$.
$\phi$ puede ser discontinua en los valores de $0, 1/n, 2/n, \ldots, (n-1)/n, 1$, pero de lo contrario, obviamente, es lineal con pendiente unidad en $[0,1]$. Que implica conserva probabilidades: que es, para cualquier conjunto medible $E \subset [0, 1)$,
$$\Pr(U \in E) = \int_E du = \int_{\phi(E)} |D\phi(u)|^{-1} du = \int_{\phi(E)} du = \Pr(U \in \phi(E)).$$
Por otra parte, $\phi$ es invertible, con inverse $\phi_\sigma^{-1} = \phi_{\sigma^{-1}}$.
Aquí está la gráfica de una$\phi_\sigma$$n=7$:
Aquí están algunos ejemplos de $\phi^F$$n=3, 10, 31, 100$. En cada ejemplo se muestra la gráfica de un uno-a-uno la función para la que $\phi(X)$ también tiene una distribución Normal estándar. Obviamente ninguno de estos son afines.
La única característica especial de $F$ que fue utilizado en estos ejemplos es que la función de distribución de una variable continua. Por lo tanto, esta misma construcción da muchos no-transformaciones afines que le asigne una variable $X$ con cualquier distribución continua en otra variable que es idénticamente distribuidas.
Estos no son los únicos ejemplos de tales probabilidad de preservación de la no-transformaciones afines, pero forman una familia que es lo suficientemente rica para la construcción de ejemplos de complejidad arbitraria.
