Tengo la siguiente suma: $$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}-\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+++++------...$$
¿Cómo puedo obtener una expresión para su suma parcial ${s_n}$ ? Sé que no puedo reordenar los términos a menos que converja absolutamente, así que ¿cuál es la mejor manera de abordar este tipo de series? Cualquier ayuda será apreciada.
Lo que se puede hacer es agrupar secuencias de términos consecutivos si tienen el mismo signo.
Un grupo típico de términos consecutivos e igualmente firmados es:
$$\pm\sum_{j=t(n)+1}^{t(n+1)}\frac1j$$
donde $t(n)$ es el $n$ número triangular, es decir, $t(n)=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$ .
y ahora podemos intentar acotar esta suma: $$0<\sum_{j=t(n)+1}^{t(n+1)}\frac1j\le\frac{n+1}{t(n)+1}=\frac{n+1}{1+\frac{n(n+1)}2}\stackrel{n\to\infty}\to0$$
Al tratarse de una serie alterna cuyos términos tienden a $0$ la suma converge.
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