¿Qué es tan especial acerca de los Anuncios?

Question

Esta pregunta está viniendo de alguien que tiene muy poca experiencia con M-Teoría, pero se siente intrigado por la AdS/CFT de la correspondencia y está empezando a estudiar.

¿Por qué es el gauge/gravedad de la dualidad discutido casi siempre en el contexto de la lucha contra deSitter espacio? Lo que es único acerca de él? ¿Cuáles son las dificultades en el estudio en Schwarzschild, deSitter, etc.? Las referencias a la labor realizada en el gauge/gravedad de la dualidad en estos más físico spacetimes sería muy apreciada.

Answer 1

Me voy a dar una posible polémica respuesta, en un intento de provocar un poco de discusión. Puedo hacer esto de buena fe, y en la creencia de que lo que he estado son verdaderas, y la espalda con las referencias (comentarios de "cita requerida" va a ser muy útil). I contexto con esto: yo soy un teórico de la materia condensada, y creo que la habitual exposición de AdS/CFT tiene el carro delante del caballo. Me voy a tomar un largo rodeo, pero espero volver en la final y responder a la pregunta.

Vamos a empezar con un spin 1/2 de la cadena en una 1D celosía, infinito en extensión. El espacio de Hilbert es un producto de 2 espacios dimensionales. Deje que el Hamiltoniano ser anti-ferromagnéticos Ising con un campo magnético externo, por lo que en un crítico de intensidad de campo que vamos a conseguir una transición de fase cuántica de anti-ferromagnético a ferromagnéticos. Trabajamos solamente con el estado del suelo (es decir, a cero de temperatura). Vamos, a continuación, hacer un par de observaciones: lejos de la fase de transición, la longitud de correlación es finito, y el enredo de la entropía de cualquier bloque de longitud $L$ es asintóticamente una constante (como $L \rightarrow \infty$); en la fase de transición, la longitud de correlación es infinito, y el enredo de la entropía va como $\log(L)$. Tenga en cuenta que estos son bastante especiales características de la planta del estado, desde el típico (definido como promedio a lo largo de la canónica de medida de Haar) estado tiene el enredo de la entropía, que como las escalas de $L$.

Por lo tanto, en lugar de escribir el suelo estado con total generalidad $$\left| \Omega \right\rangle = \sum_{s_1,s_2,\ldots} c_{s_1,s_2,\ldots} \left|s_1\right\rangle\otimes\left|s_2\right\rangle\otimes\ldots$$ where we would have to specify the matrix $c$ with an exponentially large number of dimensions (spanning the full Hilbert space), we're going to restrict our attention to so-called Matrix Product States (MPS) with the form: $$\left|\Omega\right\rangle = \sum_{s_1,s_2,\ldots} \mathrm{Tr}\left(\hat A^{s_1} \hat A^{s_2} \ldots \right) \left|s_1\right\rangle\otimes\left|s_2\right\rangle\otimes\ldots$$ where the matrices $\sombrero de Un^{s_i}$ are arbitrary matrices of dimension $m$. Essentially, we're staring in the corner of Hilbert space which is spanned by a linearly increasing number of dimensions. Now, as $m \rightarrow \infty$ we recover the full Hilbert space, but away from the critical point, a finite $m$ suffices to fully (exactly) describe the ground state, because of the prior point about finite entanglement entropy; essentially, the dimension $m$ controla cuánto enredo es posible entre los sitios adyacentes, y los DIPUTADOS ansatz totalmente abarca todos esos estados.

Pero, como se mencionó, el enredo en un estado crítico es no acotada. En este caso, podemos utilizar diferentes ansatz, la Multi-escala de Enredo Renormalisation Ansatz (MERA). La construcción es difícil de describir en palabras, pero más fácil en las fotos. Si utilizamos el tensor de diagramas de red (identificado por primera vez por Penrose y se llama spin networks), nos muestran cada tensor como un blob con un número de patas igual a su rango. El tratamiento de las matrices $\hat A^{s_i}$ 3-rango de tensores (uno extra debido a la vuelta de índice), se puede dibujar el MPS como:

donde la parte inferior de las piernas son el giro de los índices. La MERA es entonces

(pero imagino que el "árbol", continúa hacia arriba sin fin). La esencia es que nos cosificar grueso de la granulación (es decir, renormalisation) en el terreno del estado descripción de un árbol de disentanglers y el grueso de la granulación. De nuevo, si lo hacemos bien, esto puede describir el estado del suelo con una precisión perfecta.

Estos tensor de diagramas de red también dar un pintoresco razón de por qué el enredo de la entropía escalas como una constante y como $\log(L)$ respectivamente. El argumento es que el enredo se localiza en el límite de un bloque (como tiene que hacerlo, ya que cada conexión en la red sólo puede soportar una cantidad finita de enredo), pero el "límite" en realidad escalas de manera diferente en los dos casos: el de la no-caso crítico, es de los bordes de una 1D de la cadena, que claramente no se preocupan por la masiva; en el caso crítico, que debe incluir no sólo la parte inferior de la capa, pero todas las capas por encima de ella, y hay $\log(L)$ capas.

Hasta ahora, todo lo que es, básicamente, (hasta la esquina de los casos) verdadero. Vamos ahora a más conjetural/interpretativo cosas. Centrarse en la MERA. Aviso que si lo consideramos como un espacio, a continuación natural de la medida de distancia es el número de "saltos" tenemos que hacer a partir de un vértice a otro; note también que, en el continuum límite este es homogénea espacio hiperbólico, es decir, los Anuncios. En el original modelo de Ising, en el punto crítico, la teoría de campo deben ser invariantes conformes, y por lo tanto ser un CFT. Esto es todo pero AdS/CFT, a excepción de que no hemos especificado que la MERA coeficientes se calculan mediante una cuántica de la teoría gravitacional (que probablemente no puede ser, yo creo que... la central de carga es 1, y nada es supersimétricas).

Ahora, en este punto, usted podría pensar: "¡Ajá! Ver? AdS/CFT es de primordial importancia para incluso cosas mundanas como la materia condensada!" Sin embargo, me gustaría presentar alguna evidencia de que, en realidad, AdS/CFT es un mundano consecuencia de una idea muy ingeniosa, que es geométricamente interpretar la información en un terreno del estado.

Vamos a considerar en su lugar una interacción fermión sistema en 1D. La costumbre de los electrones con la repulsión de Coulomb va a hacer. Se sabe que la física de estado es la de que no interactúan entre solitones de fractionalised electrones: los holones (llevando la carga) y spinons (la realización de la tirada). Nuestro ansatz entonces será que de MERA, pero a una cierta profundidad en el árbol, hemos duplicado de todo, por encima de ella --- así que terminamos con dos 1D sistemas, uno para holones y uno para spinons. En la imagen geométrica anterior, es como si pegamos un extra de espacio de los Anuncios en el habitual, de manera que obtenemos un tenedor.

La razón de esto sugiere que en realidad el estado debe venir primero y el principio de la holografía segunda es dos veces:

1. La holografía se sostiene solamente para estados especiales como el estado del suelo, donde el enredo de la entropía a escalas sub-granel.
2. El interior del espacio de los Anuncios podrían no ser los Anuncios, o incluso admitir cualquier tipo de niza geométrica de la imagen, e incluso si lo hace, puede que no sea dado por algún tipo de Lagrange basado en la teoría de campo.

Así que, volviendo a la pregunta: "¿qué es especial acerca de los Anuncios?" Otras respuestas sin duda se centrarán en la geometría especial que hace que las matemáticas de trabajo, pero yo diría que la clave es nunca el espacio interior, pero la frontera: el (super)ENF. El espacio interior, en este caso, los Anuncios, sólo viene a lo largo de un recorrido. Si hemos tenido algún otro tipo de límite de la teoría, nos gustaría tener algún otro tipo de espacio interior, o no, de un espacio a todos!

Referencias:

Seminal (?) papel en la correspondencia entre MERA y la holografía: http://arxiv.org/abs/0905.1317 La ramificación de la MERA tan exóticos de la holografía: http://pirsa.org/10110076

Answer 2

Anuncios de$_d$ en cualquier espacio-tiempo de la dimensión $d\geq 2$ es máximamente simétrica con isometría grupo so(d-1,2) (para Minkowski de la firma).

Este grupo coincide con la conformación del grupo en d-1 dimensiones (de nuevo para Minkowski de la firma).

Por ejemplo, para los Anuncios de$_5$ obtener la isometría del grupo so(4,2), que es la conformación del grupo en 4 dimensiones. Esta coincidencia es un poco trivial comprobar la coherencia de que algo como un AdS$_5$/CFT$_4$ correspondencia puede trabajar.

Otra característica especial de los Anuncios como contraposición a la dS, es que proporciona un vacío estable en la mayoría de las teorías (mientras que la dS es el único meta-estable), y que es compatible con SUSY (mientras que la dS no es).

Espacios que asíntota a los Anuncios tienen propiedades muy especiales, también. Brown y Henneaux mostró en d=3 que cualquier coherente de la teoría cuántica de la gravedad debe ser dual hacer una de 2 dimensiones la teoría conforme de campos, en el sentido de que el espacio de Hilbert debe caer en representaciones irreducibles de dos copias de el álgebra de Virasoro, con el centro de carga determinado por Newton constante y la constante cosmológica. Este fue un importante precursor de la AdS/CFT de la correspondencia, donde tal dualidad se realiza de forma explícita (pero en dimensiones superiores).

Espacio de Minkowski es también la máxima simétrica y estable, pero no tan susceptibles a la holografía como Anuncios.

En resumen, los Anuncios de los espacios son simples y tienen interesantes propiedades físicas, razón por la cual es utilizado con bastante frecuencia.

Answer 3

Espacio de los anuncios es, básicamente, sólo el espacio hiperbólico, con un tiempo de dirección. He aquí una bonita geométricas hecho. Considere la posibilidad de 2d espacio hiperbólico en el modelo de disco de Poincaré. (Generalizar a dimensiones superiores es sencillo.) La métrica es $ds^2 = \frac{dr^2 + r^2 d\theta^2}{(1-r^2)^2}$. El área correspondiente elemento es $\frac{rdrd\theta}{(1-r^2)^2}$. Así que considere el círculo fijo de $r = r_0$. Esto ha circunferencia $2\pi r_0\frac{1}{1-r_0^2}$, y el área de $2\pi \int_0^{r_0} \frac{rdr}{(1-r^2)^2}$. Para$r_0 = 1 - \epsilon$,$\epsilon \ll 1$, estas son las $\frac{\pi}{\epsilon} - \frac{\pi}{2} + {\cal O}(\epsilon)$$\frac{\pi}{2\epsilon} - \frac{\pi}{2} + {\cal O}(\epsilon)$, respectivamente.

¿Qué significa esto? Esto significa que, para los círculos grandes en comparación con el radio de curvatura del espacio, el perímetro y el área de escala de la misma manera como se hace el círculo más grande. (A diferencia de la plana espacio, donde una de las escalas como el cuadrado de la otra). Creo que esta es una pista acerca de la holografía; en cierto sentido, los Anuncios es el espacio en el que la holografía se convierte en algo casi trivial, debido a que $d$ $d-1$ dimensiones de los volúmenes son casi idénticos, que es por eso que entendemos la holografía mucho mejor en los Anuncios.

(Por supuesto, este no es ajena a las ideas sobre la conformación de la simetría, etc. Pero creo que esta geométricas hecho arroja un poco de luz y es fácil de entender, sin entrar en detalles de la física.)