Integral del función del Zeta

Question

Cómo puedo show$$\frac{1}{2\pi i}\oint_{c}\frac{1}{\zeta(s)s(s-1)^2}ds=-1$$ Where C is a closed curve encircling all of the zeros of $\zeta(s)$,

Tal vez alguien sólo me puede ayudar mostrar que existe (la integral)

¿No el hecho de que las partes reales de los ceros de la función zeta son menos entonces 1 implica su existencia?

Answer 1

Siento que metí algo aquí,

$$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(\frac{k}{n})=\int_{0}^1 f(x) \ dx$$ $$\sum_{k\leq x}\Lambda(k)=\psi(x)$$ $$\sum_{k\leq x}\mu(k)=M(x)$$ $$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\ln(\frac{k}{n})M(\frac{n}{k})=\frac{\psi(n)}{n}-\frac{\ln(n)}{n},\text{ by Chebyshevs identity}$$ $$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\ln(\frac{k}{n})M(\frac{n}{k})=\int_{0}^1\ln(x)M(\frac{1}{x}) \ dx=\lim_{n \to \infty} \frac{\psi(n)}{n}-\frac{\ln(n)}{n}$$ $$\int_{0}^1\ln(x)M(\frac{1}{x}) \ dx=1, \text{ by the prime number theorem}$$ $$\frac{1}{2\pi i}\oint_{c}\frac{1}{x^s\zeta(s)s}ds=M(\frac{1}{x}), \text{by Perron's formula}$$ $$\frac{1}{2\pi i}\oint_{c}\frac{\ln(x)}{x^s\zeta(s)s}ds=\ln(x)M(\frac{1}{x})$$ $$\frac{1}{2\pi i}\oint_{c}\int_{0}^1\frac{\ln(x)}{x^s\zeta(s)s} dx \ ds=\int_{0}^1\ln(x)M(\frac{1}{x}) \ dx=1$$ $$\frac{1}{2\pi i}\oint_{c}\int_{0}^1\frac{\ln(x)}{x^s\zeta(s)s} dx \ ds=1$$ $$\int_{0}^1\frac{\ln(x)}{x^s} dx = \frac{-1}{(s-1)^2}, \text{for } \text{ } \Re(s)<1$$ $$\frac{1}{2\pi i}\oint_{c}\int_{0}^1\frac{\ln(x)}{x^s\zeta(s)s} dx \ ds=\frac{1}{2\pi i}\oint_{c}\frac{-1}{\zeta(s)s(s-1)^2} ds=1, \text{ because the zeros of the zeta function satisfy } \text{ } \Re(s)<1$$ $$\frac{1}{2\pi i}\oint_{c}\frac{1}{\zeta(s)s(s-1)^2} ds=-1$$

Answer 2

Aquí es la suma de los residuos en los ceros de la triviales de la función Zeta

$$ -\sum _{k=1}^{\infty }\,\frac{1}{{2k\zeta}'(-2k)(2k+1)^2} \sim 0.9998418292,$$

donde el residuo a $s=-2k$ está dada por

$$ \lim_{s \to -2k}\frac{(s+2k)}{\zeta(s)s(s-1)^2}=-\frac{1}{{2k\zeta}'(-2k)(2k+1)^2}. $$

Nota: Usted necesita encontrar una secuencia adecuada de contornos $C_n$.