Esta es una pregunta de dos partes.
Supongamos que yo soy de dibujo de variables aleatorias $X_i\sim A$, $1\leq i \leq n$ donde $A$ es un valor cero, varianza finita $\sigma_A^2$, simétrica distribución de probabilidad de tener finito cuarto momento $\mathbb{E}(X^4)$ sobre el apoyo de la recta numérica real. Suponga que para todo $(i,j)$, $X_i$ y $X_j$ son independientes. Estoy interesado en la aproximación de la distribución de la suma de los cuadrados de los $\sum_{i=1}^nX_i^2$ con la distribución normal, por muy grande $n$. En la segunda parte de la pregunta que me relajan el supuesto de que $X_i$'s son idénticamente distribuidas, pero mantener las mismas condiciones en cada una de las $A_i$.
Por el Teorema del Límite Central (CLT), la suma de estos me.yo.d. variables aleatorias, la variable aleatoria $$\frac{\sum_{i=1}^nX_i}{\sqrt{n\sigma_A^2}}\xrightarrow{D}\mathcal{N}(0,1)$$
donde $\xrightarrow{D}$ denota la convergencia en distribución. Por lo tanto, me puede aproximar la distribución de la suma por $\mathcal{N}(0,n\sigma_A^2)$ de las grandes suficientemente $n$.
La primera parte de mi pregunta es: ¿qué distribución se puede utilizar para aproximar la suma de los cuadrados de un gran número de estos me.yo.d. variables aleatorias $\sum_{i=1}^n X^2_i$? Hacer una función de ella convergen a un estándar de Gauss en la distribución (es decir, dado lo suficientemente grande, posiblemente infinita $n$)? Entiendo que si $A$ es una Gaussiana, a continuación,$\frac{1}{\sigma_A^2}\sum_{i=1}^n X^2_i\sim\chi^2(n)$, que puede ser aproximada por $\mathcal{N}(n\sigma_A^2,2n\sigma_A^4)$ grandes $n$ el uso de las propiedades asintóticas de la distribución chi-squared (donde $\sigma_A^4$ denota el cuadrado de la varianza.) Pero ¿qué sucede cuando $A$ tiene el buen propiedades descritas anteriormente, pero no es necesariamente de Gauss?
Mi intuición me dice que debería converger a una Gaussiana, ya que todavía estamos tratando con una suma de variables aleatorias con finito media y la varianza. Pero no estoy seguro de cómo probar que o caracterizar la distribución en términos de$n$$\sigma_A^2$.
Segunda parte de la pregunta es una generalización sobre este tema. Ahora supongamos $X_i\sim A_i$ no son idénticamente distribuidas. Todos ellos siguen siendo independientes, y $A_i$ están siendo cero medio y simétrico, pero todos ellos tienen diferentes finito variaciones $\sigma_i^2$, y puede tener una forma diferente. Ya que los medios y las desviaciones son finitos, Lindeberg la condición se cumple, lo que nos asegura que la CT se mantiene en las $\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^n\sigma_i^2}}\xrightarrow{D}\mathcal{N}(0,1)$. Sin embargo, de nuevo, me pregunto ¿qué pasa con la suma de los cuadrados de los $\sum_{i=1}^n X_i^2$. Hay una función de lo que converge a un buen variable aleatoria como el de Gauss en la distribución (es decir, para adecuadamente un gran $n$, posiblemente infinita, qué aspecto de Gauss), Si es así, ¿qué distribución hace converger y ¿cómo se puede caracterizar la distribución y la función de $\sum_{i=1}^n X_i$ en términos de$n$$\sigma_i^2$, y posiblemente $\mathbb{E}(X_i^4)$? Es el resultado más alcanzable si cada una de las $A_i$ es un valor cero Gauss con varianza $\sigma_i^2$?
De nuevo, mi intuición me dice que una función de $\sum_{i=1}^n X_i^2$ deben converger a una Gaussiana, ya que de nuevo estamos tratando con la suma de variables aleatorias con finito de medias y varianzas, que deben cumplir Lindeberg del estado... pero hay una prueba y cómo la caracterización de la distribución en términos de$n$$\sigma_i^2$?
EDITA: he cambiado la pregunta después de @Michael Hardy respondió a la primera parte para mí. La segunda parte está todavía abierto...
