¿Si $\{x_n\}$ es una secuencia real tal que el $\{2x_{n+1}+\sin x_n\}$ de la secuencia es convergente, entonces es cierto que $\{x_n\}$ convergente?
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MrTuttle
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Decir $b = \lim 2x_{n+1} + \sin x_n$ $a$ es el (único) número real tal que $2a + \sin a = b$. Entonces
$$0 = \lim_{n\to\infty} (2x_{n+1} + \sin x_n - 2a - \sin a) = \lim_{n\to\infty} \biggl(2(x_{n+1}-a) + 2\cos\frac{a+x_n}{2}\sin \frac{x_n-a}{2}\biggr).$$
Definir $u_n = x_n - a$, luego
$$v_n := u_{n+1} + \cos(a + u_n/2)\sin (u_n/2) \to 0.$$
Nos gustaría concluir que $u_n \to 0$. Supongamos que no fuera el caso, y
$$\eta := \limsup_{n\to \infty}\: \lvert u_n\rvert > 0.$$
Podemos, sin pérdida de generalidad supongamos que $\lvert v_n\rvert < \eta/8$ todos los $n$. Para cada $n$ tal que $\lvert u_{n+1}\rvert > 7\eta/8$, entonces se sigue que
$$\frac{3}{4}\eta < \lvert u_{n+1} - v_n\rvert = \lvert \cos(a+u_n/2)\sin(u_n/2)\rvert \leqslant \frac{\lvert u_n\rvert}{2},$$
así
$$\lvert u_n\rvert > \frac{3}{2}\eta.$$
Ya que hay arbitrariamente grande, $n$ tal que $\lvert u_{n+1}\rvert > 7\eta/8$, obtenemos la contradicción
$$\eta = \limsup_{n\to\infty}\: \lvert u_n\rvert \geqslant \frac{3}{2}\eta.$$
Did
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Por hipótesis, la secuencia de $(y_n)$ definido por $y_n=2x_{n+1}+\sin x_n$ converge a algún límite finito. Además, $x_{n+1}=\frac12y_n-\frac12\sin x_n$ $-1\leqslant\sin x_n\leqslant1$ por cada $n$. Por lo tanto, existen algunas $a_0$ y algunos $\ell_0\leqslant1.01$ tal que, para cada $n$ lo suficientemente grande, $a_0\leqslant x_n\leqslant a_0+\ell_0$.
Ahora, supongamos que, para cada $n$ lo suficientemente grande, $a_k\leqslant x_n\leqslant a_k+\ell_k$ para un determinado$a_k$$\ell_k$. Entonces, la imagen de cualquier intervalo de longitud de $\ell_k$ por la función seno tiene una longitud en la mayoría de las $\ell_k$ por lo tanto, el uso de $x_{n+1}=\frac12y_n-\frac12\sin x_n$, una vez más, se ve que existe una $a_{k+1}$ $\ell_{k+1}\leqslant0.51\ell_k$ tal que, para cada $n$ lo suficientemente grande, $a_{k+1}\leqslant x_n\leqslant a_{k+1}+\ell_{k+1}$.
La intersección $\bigcap\limits_k[a_k,a_k+\ell_k]$ se reduce en más de un punto desde $\ell_k\to0$ por lo tanto permanece a la nota que $(x_n)$ es acotado, por lo tanto $(x_n)$ tiene al menos un punto límite, para deducir que el $(x_n)$ converge.
Este enfoque resulta la siguiente más general de resultado, cuya declaración puede ayudar a identificar lo que hace que el presente se tiene:
Si la secuencia de $(y_n)$ converge, donde $y_n=cx_{n+1}+f(x_n)$ fijos $c$ y algunos $k$-función de Lipschitz $f$$k<|c|$, entonces la secuencia de $(x_n)$ sí converge.
