¿Cómo encontrar el número de números de cuatro dígitos distintos que están aumentando o disminuyendo?
La respuesta correcta es $2{9 \choose 4} + {9 \choose 3} = 343$ . ¿Cómo llegar allí?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Giampaolo Rodolà
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147
Por cada colección de $4$ dígitos distintos, hay una única forma de ordenar los dígitos para que sean decrecientes, y una única forma de ordenarlos para que sean crecientes. Esto da como resultado $2 \binom{10}{4}$ diferentes secuencias que son crecientes o decrecientes, pero no todas corresponden a un número de cuatro cifras. Para las secuencias crecientes, no se puede tener $0$ como primer dígito. Esto descarta $\binom{9}{3} = 84$ posibilidades. Así que el total es $2(210) - 84=336 \neq 343$ ...?
Morteza M.
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736
Para los números decrecientes, también podemos tomar el cero como un posible dígito candidato( $4320$ está bien, $0234$ no está bien). Una vez que tenemos un conjunto de 4 dígitos(por ejemplo, $1-9-6-7$ ), el número está determinado unívocamente por el orden creciente/ decreciente ( $1679$ o $9761$ ).
Por lo tanto, el número de números decrecientes
\= números sin $0$ como un dígito + números con $0$ como uno de los dígitos.
\= todas las combinaciones posibles de 4 dígitos de $\{1, ... 9 \}$ + todas las combinaciones posibles de $3$ dígitos de $\{1, ... 9\}$ , $0$ siendo el dígito ya seleccionado.
\= ${9 \choose 4} + {9 \choose 3}$ .
Número de números crecientes=todas las combinaciones posibles de 4 dígitos de $\{1, ...9\} = {9 \choose 4}$ .
Añade esos dos.
Oli
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El análisis utilizado es el siguiente:
No usar $0$ : Elegimos $4$ dígitos distintos de cero. Una vez hecho esto, podemos organizarlos en orden creciente en $1$ manera, y en orden decreciente en $1$ manera, para un total de $2\binom{9}{4}$ .
Utilizando $0$ : Sólo pueden ser decrecientes. Y tenemos que elegir $3$ dígitos distintos de cero para acompañar al $0$ . Esto puede hacerse en $\binom{9}{3}$ formas.
Prefiero el enfoque de Juanito. Tenga en cuenta que la suma no es $343$ , así que si el libro tiene eso, hay un error de cálculo.
