Creo que he encontrado una prueba del teorema del punto fijo de Brouwer que es mucho más sencilla que cualquiera de las pruebas de mis libros.
Una parte es estándar: Supongamos que hay un $f:D^n \rightarrow D^n$ sin puntos fijos. Entonces podemos dibujar el rayo desde $f(x)$ a través de $x$ para conseguir una retractación $r:D^n \rightarrow S^{n-1}$ .
Ahora, supongamos que tal $r$ existía. Entonces obviamente tenemos $S^{n-1} \stackrel{i}{\rightarrow} D^n \stackrel{r}\rightarrow S^{n-1}$ donde $ri=\text{id}_{S^{n-1}}$ .
Tomando la cohomología de Rahm y escribiendo $f^*\equiv H^p(f)$ para los mapas, obtenemos que $i^*r^*=\text{id}^*_{S^{n-1}}$ es un isomorfismo, tal que $i^*:H^p(D^n)\rightarrow H^p(S^{n-1})$ es un epimorfismo para todo $p$ pero esto es imposible para $p=n-1$ .
Por lo tanto, no puede existir tal $r$ y hemos demostrado el teorema del punto fijo de Brouwer.
Así que esta prueba no utiliza nada excepto que $H^p$ es un functor contravariante. Si tuviéramos que hacer esto con la homología, tendríamos que utilizar la noción de grado de los mapas, pero mi libro sobre la cohomología de Rahm lo hace utilizando la contractibilidad y la invariancia de la homotopía. ¿Hay alguna cosa pesada escondida bajo la superficie que no estoy viendo?
