¿Produce el pullback de esquemas por monomorfismo el pullback topológico?

Question

Supongamos que tengo mapas de esquema $X\to Z,Y\to Z$ . En general, no es cierto que el producto de fibra $X\times_{Z}Y$ tiene el mismo espacio topológico subyacente (o incluso el mismo conjunto subyacente) que el producto fibra de los espacios topológicos, por ejemplo, tomando ambos mapas como $Spec(\mathbb{C})\to Spec(\mathbb{R})$ .

Sin embargo, creo que no es difícil demostrar (básicamente se calcula el producto de fibras afín-localmente) que el espacio subyacente de $X\times_{Z}Y$ ES homeomorfo al pullback topológico si $X\to Z$ es cualquiera de los siguientes:

• una incrustación abierta
• una incrustación cerrada
• inducido por la localización (es decir $Spec(S^{-1}A)\to Spec(A)$ .)

En particular, si uno compone estas cosas en el orden correcto, creo que esto da una prueba de una sola línea que la fibra teórica del esquema sobre un punto coincide con la fibra topológica.

Estos son también los ejemplos canónicos de monomorfismos (junto con las composiciones de éstos) en la categoría de esquemas que conozco. Así que mi pregunta es:

Si $X\to Z$ es un monomorfismo, es el espacio subyacente de $X\times_{Z}Y$ homeomorfo al pullback en la categoría de espacios topológicos?

Answer 1

Sí.

Por el la construcción explícita del producto fibra de espacios localmente anillados (en particular, de esquemas), se deduce que el mapa continuo $|X \times_Z Y|\to |X| \times_{|Z|} |Y|$ es suryente y que la fibra sobre algún punto $(x,y,z)$ en $|X| \times_{|Z|} |Y|$ es $\mathrm{Spec}(\kappa(x) \otimes_{\kappa(z)} \kappa(y))$ . Una base de la topología en $|X \times_Z Y|$ está dada por los subconjuntos abiertos $$\Omega(U,V,T,f) = \{(x,y,z,\mathfrak{p}) : x \in U, y \in V, z \in T, f(x,y,z) \notin \mathfrak{p}\}$$ donde $U \subseteq X$ , $V \subseteq Y$ , $T \subseteq Z$ son subconjuntos abiertos tales que $U$ y $V$ mapa en $T$ , $f \in \mathcal{O}_X(U) \otimes_{\mathcal{O}_Z(T)} \mathcal{O}_Y(V)$ y $f(x,y,z)$ denota la imagen de $f$ en $\kappa(x) \otimes_{\kappa(z)} \kappa(y)$ .

Una referencia para la teoría de monomorfismos de esquemas resp. epimorfismos de anillos conmutativos es

Seminario Samuel. Commutative Algebra, 2, 1967-1968, Ring epimorphisms, disponible en nundam .

Por la Prop. 1.5 del Exp. nº 4 de Lazard un monomorfismo $X \to Z$ es inyectiva en los conjuntos subyacentes e induce isomorfismos en los campos de residuos. Por lo tanto, $\mathrm{Spec}(\kappa(x) \otimes_{\kappa(z)} \kappa(y)) = \mathrm{Spec}(\kappa(y))$ es un solo punto. Se deduce que el mapa continuo $|X \times_Z Y|\to |X| \times_{|Z|} |Y|$ es biyectiva. La imagen de un subconjunto básico-abierto $\Omega(U,V,T,f)$ es $$\{(x,y,z) \in |U| \times_{|T|} |V| : f(x,y,z) \neq 0\}.$$ Está abierto: Si $f(x,y,z) \neq 0$ entonces $f_{x,y,z} \in \mathcal{O}_{X,x} \otimes_{\mathcal{O}_{Z,z}} \mathcal{O}_{Y,y}$ es invertible. Dado que los colímetros dirigidos conmutan con los productos tensoriales, deducimos que hay vecindades abiertas $U',V',T'$ de $x,y,z$ dentro de $U,V,T$ tal que a) la inversa $f^{-1}$ de $f$ se define en $\mathcal{O}_X(U') \otimes_{\mathcal{O}_Z(T')} \mathcal{O}_Y(V')$ y b) la ecuación $f f^{-1} = 1$ ya se mantiene en este producto tensorial. De ello se deduce que $U' \times_{V'} T'$ está contenido en el conjunto, y éste es abierto con respecto a la topología del producto fibra.