Encontrar este límite utilizando la regla de L'Hôpital es fácil, pero cómo hacerlo sin usando la regla de L'Hôpital?
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1+\sin x)^{\csc x}-e^{x+1}}{\sin (3x)}$$
Respuestas
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Podemos proceder como sigue y reducir la complicada expresión del límite a una simple antes de aplicar las expansiones en serie $$\begin{aligned}L&=\lim_{x \to 0}\frac{(1 + \sin x)^{\csc x} - e^{x + 1}}{\sin 3x}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{\exp\{\csc x\log(1+\sin x)\} -\exp(1+x)}{\sin 3x}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{\exp(1+x)\left\{\exp\left(\csc x\log(1+\sin x) -1 -x\right) -1\right\}}{\sin 3x}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{\exp(1+x)\left\{\exp\left(\csc x\log(1+\sin x) -1 -x\right) -1\right\}}{3x}\cdot\frac{3x}{\sin 3x}\\ &=\frac{e}{3}\lim_{x\to 0}\frac{\exp\{\csc x\log(1+\sin x) -1 -x\} -1}{x}\\ &=\frac{e}{3}\lim_{x\to 0}\frac{e^{t} -1}{t}\cdot\frac{t}{x}\\ &=\frac{e}{3}\lim_{x\to 0}\frac{t}{x}\\ &=\frac{e}{3}\lim_{x\to 0}\frac{\csc x\log(1+\sin x)-1-x}{x}\\ &=\frac{e}{3}\left(\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin x)-\sin x}{x\sin x}-1\right)\\ &=\frac{e}{3}\left(\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin x)-\sin x}{\sin^{2} x}\cdot\frac{\sin x}{x}-1\right)\\ &=\frac{e}{3}\left(\lim_{z\to 0}\frac{\log(1+z)-z}{z^{2}}-1\right)\\ &=\frac{e}{3}\left(\lim_{z\to 0}\dfrac{\left(z - \dfrac{z^{2}}{2} + \cdots\right)-z}{z^{2}}-1\right)\\ &=\frac{e}{3}\cdot\frac{-3}{2}=-\frac{e}{2}\end{aligned}$$ En la derivación anterior tenemos $z = \sin x$ y $$\begin{aligned}t&=\csc x\log(1+\sin x) -1-x\\ &= \frac{\log(1 + \sin x)}{\sin x} - 1 - x\\ &= \frac{\log(1 + z)}{z} - 1 - x\end{aligned}$$ para que ambos $t$ y $z$ tienden a $0$ como $x\to 0$ .
Claude Leibovici
Puntos
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Sugerencia
Ampliación de Taylor construida en $x=0$ conduce a una solución ya que $$\csc(x)=\frac{1}{x}+\frac{x}{6}+O\left(x^2\right)$$ $$(1+\sin x)^{\csc x}=e-\frac{e x}{2}+O\left(x^2\right)$$ $$e^{x+1}=e+e x+O\left(x^2\right)$$ $$(1+\sin x)^{\csc x}-e^{x+1}=-\frac{3 e x}{2}+O\left(x^2\right)$$ $$\sin(3x)=3 x+O\left(x^2\right)$$ y luego el límite igual a $-\frac{e}{2}$
