En Bachet ' s fórmula de duplicación y el número $-432$

Question

Mientras que la lectura de "Puntos Racionales en Curvas Elípticas" por Silverman y Tate, me encontré con este interesante pasaje acerca de Bachet de la duplicación de la fórmula:

Sé cómo derivar Bachet de la duplicación de la fórmula utilizando el método de la tangente (es decir, se construye una línea tangente a un punto racional en este cúbicos. El tercer punto de intersección de la línea y el cúbicos da la nueva racional de punto). Mi pregunta es acerca de la misteriosa $-432$.

¿Por qué es cierto que si la original solución racional $(x, y)$ $xy\neq 0$ y si $c\neq 1, -432$, luego de repetir este proceso conduce a una infinidad de distintas soluciones?

Edit. Más adelante en el libro (página 24), no es un cálculo explícito que pone el cúbicos $u^3+v^3=\alpha$ a de Weierstrass Forma Normal. La ecuación resultante es $y^2=x^3-432\alpha^2$. Así, en particular, $y^2=x^3-432$ es de Weierstrass Forma Normal de $x^3+y^3=1$. Así que tal vez esto explica la aparición de $-432$ arriba?

Answer 1

Necesitamos la convención que $c$ no es divisible por a $6$th poder, ya que para cualquier entero distinto de cero $m$ de las ecuaciones $y^2=x^3+c$ $y^2 =x^3 +m^6 c$ son fácilmente transformado en unas de otras por un cambio racional de variables, por lo que sus soluciones racionales están en una simple bijection. Es por sexto libre del poder enteros $c$ que $y^2 =x^3 +c$ ha torsión puntos con un valor distinto de cero $x$ $y$ sólo al $c=1$ o $−432$. En cualquier caso, creo que esto se discute en el libro Cassels en curvas elípticas. Es mencionado como la Proposición. 17.10.1 en Irlanda & Rosen. Véase también la Proposición 17.9.1 en Irlanda & Rosen.