Supongamos que tenemos una curva de $\gamma \colon J \rightarrow \mathbb{R}^3$ de la forma $\gamma(v) = (\varphi(v), 0, \psi(v))$ tal que $\frac{d \gamma}{dv}(v) \neq 0$ $\varphi(v) > 0$ todos los $v \in J$. La superficie de revolución obtenida al revolver $\gamma$ $z$- eje
$$ S = \{ (\varphi(v) \cos u, \varphi(v) \sin u, \psi(v)) \, | \, v \in J, u \in [0,2\pi] \}. $$
Desde $S$ no se puede cubrir con una sola coordenada gráfico, es más útil considerar la posibilidad de $S$ como la imagen del mapa de $X \colon \mathbb{R} \times J \rightarrow \mathbb{R}^3$ dada por
$$ X(u,v) = (\varphi(v) \cos(u), \varphi(v) \sin u, \psi (v)). $$
El mapa de $X$ es un local diffeomorphism y el retroceso de la primera forma diferenciada de $S$ $\mathbb{R} \times J$está dado por
$$ g(u,v) = \begin{pmatrix} \varphi(v)^2 & 0 \\ 0 & \varphi'(v)^2 + \psi'(v)^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E(v) & 0 \\ 0 & F(v) \end{pmatrix}. $$
Geodesics en $\mathbb{R} \times J$ con el pullback métrica se le mapa en $X$ a geodesics de $S$. El uso de $g$, podemos calcular los símbolos de Christoffel y escribir explícitamente la ecuación geodésica $\nabla_{\dot{\alpha}(t)}{\dot{\alpha}} = 0$ para una curva de $\alpha(t) = (u(t), v(t))$$\mathbb{R} \times J$. Escrito poco, las ecuaciones son
$$ \ddot{u} + \frac{E'}{E} \dot{u} \dot{v} = 0, \\
\ddot{v} - \frac{E'}{2G} \dot{u}^2 + \frac{G'}{2G} \dot{v}^2 = 0. $$
Más explícitamente, tenemos
$$ \ddot{u}(t) + \frac{2 \varphi(v(t)) \varphi'(v(t))}{\varphi(v(t))^2} \dot{u}(t) \dot{v}(t) = 0, \\
\ddot{v}(t) - \frac{\varphi(v(t)) \varphi'(v(t))}{\varphi'(v(t))^2 + \psi "(v(t))^2} \dot{u}(t)^2 + \frac{\varphi'(v(t)) \varphi"(v(t)) + \psi " (v(t)) \psi"(v(t))}{\varphi'(v(t))^2 + \psi " (v(t))^2} \dot{v}(t)^2 = 0. \label{equation1}\etiqueta{1}$$
Este es un sistema de (junto) no lineal de segundo orden ecuaciones diferenciales para $(u(t), v(t))$ que puede ser resuelto numéricamente dadas las condiciones iniciales en algunos (arbitrario) tiempo $t = t_0$ de la forma
$$ \alpha(t_0) = (u_0, v_0), \,\,\, \dot{\alpha}(t_0) = (u_0', v_0') $$
y usted puede utilizar para encontrar y dibujar la línea geodésica $X(\alpha(t))$. La geodésica va a ser de velocidad constante (con respecto a la métrica de $g$) y de no ser por lo general un gráfico (por lo $\alpha(t)$ no será de la forma $\alpha(t) = (t, v(t))$ o $\alpha(t) = (u(t), t)$).
La descripción de arriba no realmente uso el hecho de que estamos buscando geodesics sobre una superficie de revolución que tiene una especial simetría. El especial de la simetría da una conserva de calidad, que debe ser constante a lo largo de geodesics. Esto se llama Clairaut la relación:
$$ \varphi(v(t)) \cos \theta(t) = C $$
donde $\theta(t)$ es el ángulo de la línea geodésica $\alpha(t)$ hace paralelamente con el $v = v(t)$ $C$ es una constante. De hecho, la antítesis casi sostiene en el sentido de que si $\alpha$ es un habitual de la curva que no coincide con un paralelo en cualquier intervalo y satisface Clairaut de la relación, a continuación, $\alpha$ es un reparametrization de una geodésica.
Si asumimos que el $\alpha$ tiene la forma de un gráfico de $\alpha(u) = (u, v(u))$ (tenga en cuenta que esto es diferente de la ecuación en que $\alpha(v) = (v(u), u)$) y el enchufe $\alpha$ en Clairaut de la relación, se obtiene la siguiente ecuación para $v$:
$$ \frac{ dv}{du} = \pm \frac{1}{C} \frac{\varphi(v(u)) \sqrt{\varphi^2(v(u)) - C^2}}{\sqrt{ \varphi'(v(u))^2 + \psi'(v(u))^2}} = F(v). \label{eq2}\tag{2} $$
Por lo tanto, en lugar de tener dos de segundo orden ecuaciones, hemos reducido el problema a una sola de primer orden de la ecuación de $v$. De nuevo, dada las condiciones iniciales $v(u_0) = v_0$$\varphi(v_0) \neq \pm C$, la ecuación tiene una única solución que puede encontrar numéricamente. Sin embargo, esta ecuación tiene el inconveniente de que no puede usarse para encontrar geodesics que, en $(u_0, v_0)$, son tangentes a un paralelo. La razón es que el problema no está bien-publicado - si $\alpha$ es tangente paralela a $(u_0, v_0)$ $\cos (\theta) = 1$ y, por lo tanto, $\varphi(v_0) = C$$F(v_0) = 0$. El lado derecho no es una función de Lipschitz y usted no tiene unicidad de soluciones. De hecho, la solución de $v(u) \equiv v_0$ es una solución de ( $\ref{eq2}$ ), pero no es necesariamente una geodésica - será una geodésica si y sólo si $\varphi'(v_0) = 0$. Si no es una geodésica, entonces la ecuación ($\ref{eq2}$) se tienen dos soluciones.
La ventaja de la búsqueda de una parametrización de la forma $(u, v(u))$ reside en el hecho de que cualquier geodésica que no es un meridiano puede ser parametrizado en este camino. Una parametrización de la forma $(u(v), v)$ es posible sólo para geodesics que no sea tangente a un paralelo en algún momento. Si escribimos la ecuación de $u(v)$ (que es la inversa de la función de $v(u)$), obtenemos (más o menos, hasta una constante que parece haberse perdido) la ecuación de traer en su segundo punto. En cierto sentido, esto mejora la situación debido a que la ecuación se puede obtener por $u(v)$ es sólo un directo integral, los cuales pueden ser evaluadas numéricamente. Sin embargo, adolece de un problema similar, como la ecuación ($\ref{eq2}$) porque si la geodésica que quede paralela a la tangente en algún punto, el integrando los golpes y el derivado $\frac{du}{dv}$ enfoques $\pm \infty$. Esto no es sorprendente, porque uno no puede esperar que un parametrización para mantener cerca del punto de tangencia a un paralelo.
Teniendo en cuenta todo esto, puedo ofrecer un par de métodos diferentes para la elaboración de geodesics:
- Sólo el uso de las ecuaciones ($\ref{equation1}$). Su aspecto es más complicado, pero a menos que usted va a tener problemas de rendimiento, resolviendo numéricamente conseguirá que desee sin tener que preocuparse acerca de si la geodésica se hace tangente a un paralelo o no.
- Utilice la ecuación ($\ref{eq2}$) y la simetría de los involucrados. Más explícitamente, supongamos que usted quiere encontrar una geodésica que no es un meridiano, que emana de avance de $(u_0, v_0)$, cuyo ángulo con el paralelo $v = v_0$$\cos \theta_0 \neq 1$. Set $C = \varphi(v_0) \cos \theta_0$ y resolver la ecuación ($\ref{eq2}$) numéricamente para obtener (una aproximación) $v(u)$. Hay tres casos posibles:
- La geodésica no se tangente a un paralelo en cualquier momento.
- La geodésica no se tangente paralela sino que se convertirá en asintótica a un paralelo. Esto significa que la solución va a satisfacer $\lim_{u \to \infty} v(u) = v_1$ $F(v(u)) \neq 0$ todos los $u > u_0$. Esto es posible si y sólo si el paralelo en sí es una geodésica, que puede ser detectado mediante la comprobación de si $\varphi'(v_1) = 0$.
- La geodésica será tangente a un paralelo después de algún número finito de vueltas alrededor de la superficie. Esto significa que la solución va a satisfacer $\lim_{u \to u_1} v(u) = v_1$ $F(v_1) = 0$ (por lo $v'(u_1) = 0$). Para continuar con la solución más allá de $u_1$, utilice el hecho de que la geodésica rebota desde el paralelo de seguimiento de su reflexión como Andrew D. Hwang notas. Más formalmente, la solución va a satisfacer $v(u) = v(2u_1 - u)$$u_1 < u < u_1 + (u_1 - u_0)$. A continuación, repita el proceso.
El método descrito en el punto anterior, no permiten encontrar una geodésica que comienza como tangente a un paralelo. Con el fin de hacer eso, usted puede combinar las ecuaciones ($\ref{equation1}$) y ($\ref{eq2}$). Es decir, supongamos que usted quiere encontrar una geodésica $\alpha(t) = (u(t), v(t))$ satisfacción $\alpha(t_0) = (u_0, v_0)$$\dot{\alpha}(t_0) = (1,0)$. Alinear las ecuaciones ($\ref{equation1}$), tenemos
$$ u(t) \aprox u_0 + (t - t_0), \\
v(t) \aprox v_0 + \frac{1}{2}\frac{\varphi(v_0) \varphi'(v_0)}{\varphi'(v_0)^2 + \psi'(v_0)^2} (t - t_0)^2 $$
Usar esto para encontrar los $\alpha(t_1)$ para algunos pequeños $t_1 > t_0$ y, a continuación, utilizar el método de los elementos anteriores para continuar resolviendo para la geodésica.
