¿Cómo pruebo esta identidad que implica la función de Mobius y Euler ' función?

Question

He estado tratando de demostrar la identidad siguiente que se ha utilizado en un libro que estoy leyendo actualmente:

$\displaystyle\sum_{q\leq Q}\frac{\mu(q)^2}{\phi(q)}\leq \frac{k}{\phi(k)}\displaystyle\sum_{q\leq Q, (q,k)=1}\frac{\mu(q)^2}{\phi(q)}$.

He probado a dividir la suma $\displaystyle\sum_{q\leq Q}\frac{\mu(q)^2}{\phi(q)}=\displaystyle\sum_{r|k}\displaystyle\sum_{m\leq\frac{Q}{r},(m,\frac{k}{r}=1)}\frac{\mu(mr)^2}{\phi(mr)}$ pero no se puede continuar. ¿Puede alguien ayudarme?

Aquí $\mu$ y $\phi$ son la función de Mobius y la función φ de Euler respectivamente.

Answer 1

Hint1: cualquier $q\leq Q$ es un producto $mn$, donde todos los factores primeros de $m$ consiste en factores primeros de $k$ y $(n,k)=1$.

Hint2: tenga en cuenta que $q\leq Q$ debe ser libre de la Plaza debido a $\mu(q)^2$. $q=mn$ Como en Hint1, tenemos $m|k$ y $\phi(q)=\phi(m)\phi(n)$

Aplicar las sugerencias, tenemos $$\begin{align} \sum_{q\leq Q} \frac{\mu(q)^2}{\phi(q)}&\leq \left(\sum_{m\leq Q, \ m|k} \frac{\mu(m)^2}{\phi(m)} \right)\left(\sum_{n\leq Q, \ (n,k)=1} \frac{\mu(n)^2}{\phi(n)}\right)\\ &\leq \left(\sum_{m|k} \frac{\mu(m)^2}{\phi(m)}\right)\left(\sum_{n\leq Q, \ (n,k)=1} \frac{\mu(n)^2}{\phi(n)}\right)\\ &=\left( \prod_{p|k} \left( 1 + \frac{1}{p-1} \right) \right) \left(\sum_{n\leq Q, \ (n,k)=1} \frac{\mu(n)^2}{\phi(n)}\right)\\ &=\left( \prod_{p|k} \frac p{p-1} \right) \left(\sum_{n\leq Q, \ (n,k)=1} \frac{\mu(n)^2}{\phi(n)}\right)\\ &=\frac{k}{\phi(k)} \left(\sum_{n\leq Q, \ (n,k)=1} \frac{\mu(n)^2}{\phi(n)}\right) \end {Alinee el}$$ como se desee.