Es $[0,1) \times [0,1]$ un continuo lineal?

Question

Leí que el espacio topológico $X=[0,1) \times [0,1]$ con el orden del diccionario y la topología de orden no es un continuo lineal, ya que no satisface la propiedad de menor límite superior. (La definición de un continuo lineal es un orden lineal denso con la propiedad de menor límite superior).

Sin embargo, no encuentro un conjunto delimitado no vacío sin supremacía que lleve a esta violación. Mi pensamiento es que si $A$ es cualquier subconjunto, y $\pi_1 (A)$ es la proyección sobre la primera coordenada, entonces $b= \sup ( \pi_1 (A))$ debe existir, ya que si $\pi_1 (A)$ no está limitado, entonces $A$ no está limitado arriba en $X$ . Entonces el límite superior mínimo de $A$ es $\sup ( \pi_1 (A)) \times \sup ( \pi_2 (A \cap (b \times [0,1])))$ . Siento que la única dificultad ocurre cuando $\sup ( \pi_1 (A))=1$ pero entonces $A$ no estaría limitado en primer lugar, por lo que la situación no se aplica. ¿Está mi pensamiento equivocado, o es $X$ en realidad un continuo lineal?

Answer 1

Sí, éste es un continuo lineal, aunque su argumentación no es del todo impecable. Si $b=\sup(\pi_1(A))=1$ Entonces, como usted dice $A$ no tiene límites; si $b<1$ , luego están los casos $(1)$ que $A$ se cruza con $b=\sup(\pi_1(A))\times [0,1]$ y $(2)$ cuando no lo hace, como cuando $A=(0,1/2)\times[0,1]$ .

En caso de que $(1), \langle b,1\rangle$ es un límite superior obvio para $A$ , por lo que es evidente que $\sup A=\langle b,\sup[\pi_2(A\cap(b\times [0,1]))]\rangle$ como usted sugirió. En caso de que $(2)$ Debemos tomar $b$ la primera coordenada de $\sup A$ pero como ningún elemento de $b\times [0,1]$ se cruza con $A$ obtenemos $\langle b,0\rangle$ así que, por cierto, podríamos combinar estos dos casos mediante la convención estándar de que $\sup \emptyset=\inf X$ para un orden lineal $X$ .

Editar : mala idea eliminada.

Puede que hayas pensado en $[0,1]\times[0,1)$ que no es un continuo lineal bajo la ordenación lexicográfica, porque por ejemplo $[0,1/2]\times [0,1)$ tiene $\langle 1,0\rangle$ como límite superior, pero no como límite inferior.