¿Por qué es el derivado del seno el coseno en radianes pero no en grados?

Question

En radianes el derivado del seno es el coseno. Pero, ¿por qué no esto es lo mismo en grados? Según este primero tendría que convertir a radianes antes de esta obra. Pero cuando nos fijamos en la gráfica del seno si la x está en grados o radianes, la gráfica mantiene igual... No entiendo.

Answer 1

Este es un gráfico de $y = \sin x$.

La línea roja es $\sin x$ si $x$ se interpreta como un ángulo en grados, y la línea azul es $\sin x$ si $x$ se interpreta como un ángulo en radianes. Ver la diferencia?

He aquí un zoom en la versión

¿Qué es $\sin(1.57\text{ rad}),$ e lo $\sin(1.57˚)?$

Intuitivamente, podemos pensar en $\sin(x˚)$ como un "estira" la versión de la gráfica original. Como resultado, la pendiente de la tangente se aplana, el cambio de la derivada.

Answer 2

Voy a asumir que tanto el sistema de medida que existen, y que todos sabemos que $$ \frac{\text{medir en el grado}}{360}=\frac{\text{medida en rad}}{2\pi}. $$ También voy a dar por sentado el clásico derivado de fórmulas para $\sin(x),\cos(x)\ldots$

A menudo es útil pensar en términos de una nueva función para ver esto. No hay una razón concreta de por qué ellos no son el mismo, salvo que debido a que es la forma en que la matemática de la obra. Nada mejor para entender por qué algo no es cierto que demostrar que no lo es.

Vamos a definir el grado de la función seno y llamar a $S(x)$ y el grado de la función coseno y llamar a $C(X)$. Estas son las funciones que tome $x$ grados y devolver el valor de $\sin(x°),\cos(x°)$. $\,S(x)$ corresponde a la línea roja en Omnomnomnom la respuesta. Ahora vamos a calcular la derivada de $S(x)$, basado en lo que sabemos. $$ \begin{align} \frac{d}{dx}S(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{S(x+h)-S(x)}{h}&\\ & = \lim_{h\to 0} \frac{\sin(\frac{2\pi}{360}(x+h))-\sin(\frac{2\pi}{360}x)}{h} &\text{from measure to measure relation}\\ &=\frac{\pi}{180}\cos{\frac{\pi}{180}}=\frac{\pi}{180}C(x).& \text{from classic derivative formula} \end{align} $$ De manera similar, encontramos que $C^{'}(x)=-\frac{\pi}{180}S(x)$.

Algunos no están directamente relacionados, pero similar a la de la lectura acerca de radianes vs grados se puede encontrar aquí y también aquí.

Answer 3

Esto es debido a la contracción de las funciones como los cambios de dominio. en grados 0 to90 corresponde a 0 a 3,14 radianes por lo tanto convenientemente como el derivado de la general se hace con radianes como dominios que tenemos convierten otras unidades en la general.