"Prueba" de que $\log2=0$ mediante la expansión de $\log(1+x)$

Question

$$\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\cdots $ $ Poner $x=1$ $$\log 2=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\frac17-\frac18\cdots$ $$$=\left\{\left(1+\frac13+\frac15+\frac17 \cdots\right)-\left(\frac12+\frac14+\frac16 +\frac18 \cdots\right)\right\}$ $$$=\left\{\left(1+\frac13+\frac15+\frac17\cdots\right)+\left(\frac12+\frac14+\frac16 +\frac18\cdots \right)\right\}-2\left(\frac12+\frac14+\frac16 +\frac18 \cdots \right)$ $$$=\left(1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15\cdots\right)-\left(1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15\cdots\right)$ $$$\log 2=0$ $$$2=e^0$ $$$2=1$ $mismo resultado se obtiene cuando multiplicado la expansión de $\log2 $ $2$.

Answer 1

Bueno, hay un error en el camino que yo he visto: $$\cdots=\left\{\left(1+\frac13+\frac15+\frac17\color{red}{+\cdots}\right)-\left(\frac12+\frac14+\frac16 +\frac18\color{red}{+\cdots} \right)\right\}$ $

En ambos el paréntesis más pequeño, tiene una variación de la serie armónica, y $$1+\frac13+\frac15+\frac17\color{red}{+\cdots}$ $ ni $$\left(\frac12+\frac14+\frac16 +\frac18\color{red}{+\cdots} \right)$ $ converge. No puede dividir una suma infinita de dos sumas infinitas si cualquiera de las tres sumas infinitas no converge.

Answer 2

Puede buscar en Teorema de la serie de Riemann , el teorema de Riemann dice que cualquier serie condicionalmente convergente (suyo es el ejemplo "clásico") puede ordenarse para convergen para cualquier número dado (incluyendo $\pm \infty$).

Answer 3

Si ambas series $$ \sum_{n=1}^{\infty} a_{2n-1} \qquad\text{y}\qquad \sum_{n=1}^{\infty} a_{2n} $$ son convergentes, entonces también $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n $$ es convergente y $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n= \sum_{n=1}^{\infty} a_{2n-1} - \sum_{n=1}^{\infty} a_{2n} $$ (la prueba no es difícil, cambio de signo a los pares de términos con el fin de simplificar y deshacerse de la $(-1)^{n+1}$). No hay ningún requisito para la convergencia absoluta aquí.

Por desgracia, en su caso, usted no puede aplicar este resultado, porque ninguno de los impares término de la serie ni de los pares término de la serie converge.

Answer 4

Se supone que

$\left(\frac12+\frac14+\frac16 +\frac18+\cdots \right)=2 \left(\frac12+\frac14+\frac16 +\frac18+\cdots \right)- \left(\frac12+\frac14+\frac16 +\frac18+\cdots \right)$

Que significa

$\infty = 2 \infty - \infty$

Están manipulando infinito y este es el error.