Referencia: Continuidad de los vectores propios

Question

Busco una referencia adecuada para el siguiente hecho.

Para cada $X \in \mathbb{R}^{n \times n}_{\text{sym}}$ ( existe $\varepsilon, L > 0$ , para todo $H \in \mathbb{R}^{n \times n}_{\text{sym}}$ con $\|H\| \le \varepsilon$ se cumple lo siguiente:

Existen matrices ortogonales $P, Q$ , \begin{equation*} Q^\top \, X \, Q = \Lambda(X) \end{equation*} y \begin{equation*} P^\top \, (X + H) \, P = \Lambda(X + H) \end{equation*} y \begin{equation*} \| P - Q \| \le L \, \| H \|. \end{equation*}

Toma, $\lambda(X)$ es la matriz diagonal que contiene los valores propios de $X$ . Es decir, $P$ y $Q$ son bases de vectores propios de $X$ y $X + H$ respectivamente. Aquí, es crucial que podamos elegir $Q$ en función de $H$ .

Este resultado puede consultarse en este artículo Véase el lema 4.3. Sin embargo, creo que una referencia de 2003 no es apropiada para este "simple" hecho.

Answer 1

La referencia "estándar" para todos los resultados de este tipo es

Kato, T. , Teoría de la perturbación para operadores lineales . Springer-Verlag, 1976

La teoría de dimensión finita está bien expuesta en el capítulo 2, con la dependencia no analítica en la sección 5.

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Como observación al margen: su declaración es en realidad no como sugiere su título, sobre la "continuidad de los vectores propios", lo cual es falso (véase el capítulo 2, sección 5.3 de la cita anterior). Lo que describes es la continuidad de las proyecciones propias.

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Si se quiere ser histórico, este tipo de problemas fueron tratados originalmente por Rellich en los años 30. En las notas de su conferencia de 1954 se ofrece una descripción más detallada. de libre acceso .