Mapas de grado 1 de $\mathbb S^n$

Question

Supongamos que $f:S^n \to M$ es un mapa de la $n$-esfera a una simple conectado a $n$-dimensiones del colector que induce un isomorfismo en la parte superior de homología. Me pregunto si es cierto que las $f$ ya es un homotopy de equivalencia.

Primero voy a presentar los argumentos de un compañero de usuario, que muestran que el $M$ puede tener el no-torsión de los elementos en la reducción de la homología de abajo dimensión $n$. Asumiendo el contrario, existe una primitiva no de torsión elemento $\alpha \in H^k(M,\mathbb Z)$$0 < k < n$. Por Poincaré-dualidad, existe alguna $\beta \in H^{n-k}(M,\mathbb Z)$ tal que $\alpha \cup \beta$ es generador de $H^n(M,\mathbb Z)$. Pero $f^*$ es natural con respecto a la copa de productos y un isomorfismo en la parte superior cohomology. Llegamos a una contradicción, ya que $H^k(S^n) = 0$$0 < k < n$.

Tomando $\mathbb Q$ coeficientes (con la matanza de torsión), tenemos que $f$ induce un isomorfismo en todos los grupos de homología con $\mathbb Q$ de los coeficientes. Desde $M'$ fue asumido para ser simplemente conectado, se sigue por el racional Hurewicz teorema que $f$ induce un isomorfismo en todos los homotopy grupos tensored con $\mathbb Q$. El teorema de Whitehead, sin embargo, no puede ser inmediatamente aplicado ahora. ¿Hay alguna otra manera a la conclusión de que la $f$ es un homotopy equivalencia ?

Answer 1

Mientras que la pregunta, tal como pedido ya ha sido resuelto, permítanme señalar que la hipótesis de que la $M$ se conecta simplemente es innecesario. En efecto, supongamos $M$ no es, posiblemente, simplemente se conecta, y deje $p:\tilde{M}\to M$ su cobertura universal. Podemos suponer $n>1$, por lo que nuestro grado $1$ mapa de $f:S^n\to M$ ascensores de un mapa de $\tilde{f}:S^n\to\tilde{M}$. De ello se desprende que el isomorfismo $f_*:H_n(S^n,\mathbb{Z})\to H_n(M,\mathbb{Z})$ factores a través de $H_n(\tilde{M},\mathbb{Z})$. En particular, esto significa que $H_n(\tilde{M},\mathbb{Z})\neq 0$ $\tilde{M}$ debe ser compacto; de ello se sigue que $p$ es de un número finito de la cubierta. El grado de $p$ (es decir, el mapa inducida en $H_n$) es igual al grado de $p$ como cobertura de mapa. Desde $1=\deg f=\deg \tilde{f}\deg p$, debemos tener $\deg p=1$. Por lo tanto $p$ es un grado $1$ de cobertura y, por tanto, un homeomorphism, por lo $M\cong \tilde{M}$ es simplemente conectado.

Answer 2

Mike Miller ya ha dado una respuesta perfecta a esta pregunta en el contexto en otra pregunta similar, que se puede encontrar aquí.

Me limitaré a presentar su argumento en un poco más de detalle, la primera parte de la que puede encontrarse en el segundo párrafo de mi pregunta original. Esta pruebas que para $0 < k < n$, la homología de grupos de $H_k(M,\mathbb Z)$ son todos de torsión grupos. En orden a la prueba de que son de hecho trivial, la observación crucial radica en ver que desde $f_* : H_n(S^n,\mathbb Z) \to H_n(M,\mathbb Z)$ es un isomorfismo, entonces es $f^*: H^n(M, \mathbb Z/p) \to H^n(M,\mathbb Z/p)$ todos los $p$ prime. Ahora suponiendo que $H_k(M, \mathbb Z)$ tenía un elemento de orden finito $p$, que daría lugar a la primitiva elemento en $\alpha \in H^k(M,\mathbb Z/p)$. Por el mismo argumento de antes, utilizando Poincaré-dualidad, la connaturalidad de la copa del producto y el hecho de que $f^*$ es un isomorfismo en la parte superior $\mathbb Z/p$-cohomology, se obtendría un no-trivial elemento $\alpha' \in H^k(S^n,\mathbb Z/p)$, una contradicción, ya que hemos asumido $0 < k < n$.

De ello se desprende que $f$ induce un isomorfismo en todos los grupos de Homología con $\mathbb Z$ coeficientes, y, desde el $M$ se supone que para ser simplemente conectado, el estándar de Hurewicz/Whitehead de la cadena de pruebas que $f$ es un homotopy equivalencia

Edit: en realidad no necesita distinguir entre torsión y no de torsión de los elementos. Para supongamos que existe entre los no-trivial $\alpha \in H_k (M)$ Poincaré doble a algunos $\gamma \in H^{n-k}(M) $. Entonces tendríamos $0 = f_*([S^n] \cap f^*(\gamma)) = [M] \cap \gamma = \alpha $.