Evaluar

Question

Evaluar %#% $ #%
donde $$ S=\left|\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\sin n}{i^n \cdot n}\right|$

Para esta pregunta, hice lo siguiente,

Dejó $$\begin{align*} S &= \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\sin n}{i^n \cdot n} \\ C &= \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\cos n}{i^n \cdot n} \end{align*} $$ tenemos que evaluar $i=\sqrt{-1}$ % $ $|S|$sin embargo, debido a la $$\implies S = \Im{(C+iS)}=\Im\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{e^{in}}{i^n \cdot n}$ en el denominador, no suma a la serie. Si sólo hubiera sido en el numerador habría suma como un heredarlo

¿Puede alguien sugerir algo?

Answer 1

Después de mucha lucha encontré esto:

$$ S=\left|\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\sin n}{i^n \cdot n}\right|=$$

$$S=\frac{1}{2}\left|-ln(1+ie^{-i})+ln(1+ie^i)\right|$$