Utilidad de la varianza

Question

He tenido una mirada intuitiva de las explicaciones de la variación de un RV (por ejemplo, Intuitiva explicación de la varianza y el momento en Probabilidad.) pero, por desgracia para mí, todavía no me siento cómodo con el concepto. ¿Por qué optar por el uso de la varianza sobre la desviación estándar (que es útil en las mismas unidades que la expectativa)?

También, si la expectativa,

$E(X) = \Sigma_{i=0}^n i P(X = i)$,

¿qué es $E(X^2)$? Es simplemente

$E(X^2) = \Sigma_{i=0}^n i P(X^2 = i)$?

Answer 1

La varianza es más fácil de manejar en los intermedios de los cálculos, debido a que no tienen una raíz cuadrada. Por ejemplo, si $X$ $Y$ son independientes, entonces la $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)$, que es una fórmula más simple que $SD(X+Y) = \sqrt{SD(X)^2 + SD(Y)^2}$. Básicamente, si usted desea trabajar en términos de la desviación estándar de todos los tiempo, a continuación, usted termina haciendo un montón de cuadrar y plaza de enraizamiento.

Su reivindica la fórmula para $E(X^2)$ es casi cierto, usted está pensando en $X^2$ como una nueva variable aleatoria ajenos a $X$. Para ser estrictamente correcto que se necesitaría $E(X^2) = \sum_{i=0}^{n^2} i P(X^2 = i)$, ya que si $X$ puede tomar los valores de $0$ $n$ $X^2$puede tomar valores tan grandes como $n^2$. Pero, a continuación, se enfrenta con el problema de la obtención de $P(X^2 = i)$. En la práctica se utiliza picakhu la fórmula de $E(X^2) = \sum_{i=0}^n i^2 P(X=i)$.

Answer 2

La varianza y la desviación estándar son los mismos, en el sentido de que si usted sabe que usted sabe el resto. La importancia de la varianza es que si $X,Y$ son independientes, a continuación, $$V[X+Y] = V[X]+V[Y],$$ es decir, la varianza es aditivo. Si sustituye la desviación estándar se obtendría una fórmula más complicada.

Usted podría preguntarse ¿por qué la gente no utilizar la mediana en lugar de la expectativa de, o uno de $E[|X-E[X]|], E[|X-M[X]|]$ en lugar de la desviación estándar. La razón es que la esperanza y la varianza disfrutar de muchas buenas propiedades de aditividad, y son mucho más fáciles de trabajar con analíticamente.

Su fórmula para $E[X^2]$ es válido (siempre que el rango de valores que abarca todos los posibles valores de$X^2$, $0$ $n^2$en su caso), aunque la más útil es la $$E[X^2] = \sum_i \Pr[X=i] i^2.$$

Answer 3

Variación es un parámetro natural de la distribución normal.