Límites para$\zeta$ funcionan en$1$ - línea

Question

Repasaba mis notas de una clase sobre teoría analítica de números y usamos un límite para la función$\zeta$ en la línea$1$ como$\vert \zeta(1+it) \vert \leq \log(\vert t \vert) + \mathcal{O}(1)$ para$t$ delimitado de$0$, decir$\vert t \vert \geq 1$. No parece tener una prueba para esto en mis notas.

¿Cómo se prueba el siguiente límite de$\zeta(s)$ en una línea?

ps

Answer 1

El de Euler-Maclaurin fórmula de la Suma dice que, como una función de la $n$, $$ \sum_{k=1}^n\frac{1}{k^z}=\zeta^\ast(z)+\frac{1}{1-z}n^{1-z}+\frac12n^{-z}+O\left(zn^{-1-z}\right)\tag{1} $$ para algunos $\zeta^\ast(z)$. Tenga en cuenta que para $\mathrm{Re}(z)>1$, $\zeta^\ast(z)=\zeta(z)$.

Para todos los $z\in\mathbb{C}\setminus\{1\}$, definir $$ \zeta_n(z)=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^z}-\frac{1}{1-z}n^{1-z}\etiqueta{2} $$ Tenga en cuenta que cada una de las $\zeta_n$ es analítica y la ecuación de $(1)$ dice que $$ \zeta_n(z)=\zeta^\ast(z)+\frac12n^{z}+O\left(zn^{-1-z}\right)\etiqueta{3} $$ que dice que para $\mathrm{Re}(z)>0$, $$ \lim_{n\to\infty}\zeta_n(z)=\zeta^\ast(z)\etiqueta{4} $$ y la convergencia es uniforme sobre compactos de subconjuntos de a $\mathbb{C}\setminus\{1\}$. Por lo tanto, el $\zeta^\ast(z)$ definido en $(4)$ es analítica y se compromete con $\zeta(z)$$\mathrm{Re}(z)>1$. Por lo tanto, $\zeta^\ast(z)$ es la continuación analítica de $\zeta(z)$$\mathrm{Re}(z)>0$.

Por lo tanto, el uso de $(1)$, obtenemos que $$ \zeta(1+it)=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^{1+it}}+\frac{1}{it}n^{-it}-\frac{1}{2n}n^{-it}+O\left(\frac{t}{n^2}\right)\tag{5} $$ Así que mientras a $n\ge|t|$, obtenemos que $$ \zeta(1+it)=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^{1+}}+O\left(\frac1t\right)\etiqueta{6} $$ El uso de Euler-Maclaurin fórmula de la Suma de nuevo, tenemos que $$ \sum_{k=1}^n\frac1k=\log(n)+\gamma+O\left(\frac1n\right)\etiqueta{7} $$ Dejando $n=\lceil|t|\rceil$, y el uso de $(6)$$(7)$, obtenemos un gran $|t|$, $$ |\zeta(1+it)|\le\log(|t|)+C\etiqueta{8} $$