Me puede dar alguna intuición en el caso de superficies (es decir : 2- dimensional compacta colector sin límite).
Deje V ser finito dimensionales k-espacio vectorial, donde k es cualquier campo viejo, por ahora. Cuando char(k) \ne 2, no es difícil convencer a sí mismo que la formas cuadráticas en V y formas bilineales sobre V son en realidad la misma cosa; si B es una forma bilineal en V \times V, B(x,x) es una forma cuadrática en V, y si q es una forma cuadrática en V, (q(x+y)-q(x)-q(y))/2 es una forma bilineal en V \times V.
Cuando char(k) = 2, esto ya no es cierto. Cuando sucede que una forma bilineal es inducida por una forma cuadrática en el anterior sentido de característica 2, podemos decir que la forma cuadrática es una ecuación cuadrática refinamiento de la forma bilineal. Parece que todo esto es discutido cuidadosamente en el texto se hace referencia.
Ahora, vamos a centrarnos en el caso de que k=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}. Deje V ser finito dimensionales \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} espacio vectorial equipado con un no-degenerada, simétrica de la forma bilineal B:V \times V \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}. Entonces podemos pensar que de B como asignación en \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} componiendo B con la multiplicación por 2; llamar a esta nueva forma bilineal B'. Resulta que B' puede ser refinado " posiblemente varios polinomios cuadráticos q:V \to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}; es decir, siempre hay al menos un polinomio cuadrático q: V \to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} tal que B'(x,y)=q(x+y)-q(x)-q(y). Cuando este es el caso, podemos decir q \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} cuadrática refinamiento de B.
Ahora, ¿qué tiene esto que ver con la topología? Deje \Sigma ser una superficie. Resulta que podemos asociar a \Sigma \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}- espacio vectorial V con elementos de la cobordism clases de inmersiones f:Z \looparrowright \Sigma donde Z es un compacto 1-variedad sin límite (es decir, distinto de la unión de los círculos), y además dado por la desunión de la unión; que el es [Z, f] + [Y, g]=[Z \sqcup Y, f \sqcup g] (resulta que esta operación está bien definido, asociativa, etc.). El Mod 2 Intersección de la Forma en \Sigma da un no-degenerada, bilineal simétrica forma en V (y, de nuevo, resulta que esta está bien definido en cobordism clases).
Antes del remate, necesitamos una mayor definición: decir (V,B) es refinado por q_1q_2. Podemos decir q_1 q_2 son isométrica, si existe un automorphism T V tal que q_1(v)=q_2(T(v)) todos los v \in V.
Ahora, aquí está la gracia del cuento: resulta que isometría clases de \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} cuadrática refinamientos de V corresponden bijectively con clases de isotopía de inmersiones de la \Sigma a \mathbb{R}^3. Más aún, uno puede asociar un invariante a un \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} cuadrática refinamiento q(V,B), cuando V \ne 0: \kappa:=\frac{1}{\sqrt{V}} \sum _{v \in V} \exp(\frac{\pi}{2} i q(v)). You can guess what \kappa stands for. One can prove that two quadratic refinements of V are isometric if and only if their \kappa invariantes son iguales.
Si usted prefiere, usted puede también pensar de \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} cuadrática refinamientos de la natural forma bilineal H^1(\Sigma; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \times H^1(\Sigma; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \to H^2(\Sigma; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}); esto equivale a la misma cosa, cuando \Sigma es orientable.
Aquí es un documento que hace referencia a la mayoría de lo que acabo de decir, y se analizan las generalizaciones de estas ideas a las mayores dimensiones de los colectores: http://math.berkeley.edu/~kirby/papers/Kirby%20and%20Taylor%20-%20Pin%20structures%20on%20low-dimensional%20manifolds%20-%20MR1171915.pdf
