¿Siempre un valor con muchas preimágenes incontables? (para un mapa real continuo en el avión)

Question

Deje $f$ ser un mapa continuo ${\mathbb R}^2 \to {\mathbb R}$. Para $y\in {\mathbb R}$, denotan por $P_y$ el conjunto preimagen $\lbrace (x_1,x_2) \in {\mathbb R}^2 | f(x_1,x_2)=y \rbrace$.

Es cierto que

(1) Al menos una $P_y$ es incontable ?

(2) Al menos uno de los $P_y$ tiene la misma cardinalidad como $\mathbb R$.

Algunas observaciones :

• (2) es más fuerte que el (1).

• (2) se sigue de (1) si suponemos que la GCH.

• Si hay un punto de $(x_0,y_0)$ de manera tal que las derivadas parciales $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$ $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$ existen y uno de ellos es distinto de cero, entonces (2) (y por lo tanto (1)) se sigue del teorema de la función implícita.

Answer 1

Considere la restricción de$f$ a$\mathbb{R}_x=\mathbb{R} \times \{x\}$ para$x$%. Si su imagen es un punto, hemos terminado. De lo contrario, su imagen es un intervalo en$\mathbb{R}$, y ese intervalo contiene un subintervalo con puntos finales racionales. Como solo existen muchos intervalos de ese tipo, debe haber uno que esté incluido en las imágenes de incontable número$\mathbb{R}_x$; entonces cualquier punto en ese intervalo tiene una preimagen incontable.

Answer 2

(1) Borrado mi respuesta para esta parte.

(2) Si usted tiene que existe una $P_y$ que es incontable, a continuación, $P_y$ tiene la cardinalidad de a$\mathbb{R}$, incluso sin la hipótesis continua. Esto es así porque desde $f$ es continua, $P_y$ es un conjunto cerrado desde $y$ es cerrado. Por el Cantor Bedixson teorema, puede ser escrito como una unión de un contable y un conjunto perfecto. Perfecto conjuntos de cardinalidad del continuo. (Supongo que se llama perfecto porque no son contraejemplos a la hipótesis continua.)

Answer 3

Es bien sabido que cada innumerables subconjunto cerrado de $\Bbb R^n$ (de hecho, cada innumerable conjunto de Borel) tiene cardinalidad $2^\omega$, por lo que (1) y (2) son equivalentes, ya que cada $P_y$ es cerrado. De hecho, una forma fuerte de (2) es verdadera.

(2) es cierto si $f$ es constante. Si no, $\operatorname{ran}f$ contiene un intervalo abierto $(a,b)$. Para cada $y\in(a,b)$, $\Bbb R^2\setminus P_y$ debe ser desconectado. Pero para cualquier contables conjunto $S\subseteq\Bbb R^2$, $\Bbb R^2\setminus S$ es arcwise conectado y por lo tanto conectado, por lo $|P_y|=2^\omega$.

A ver que $\Bbb R^2\setminus S$ es arcwise conectado, fix$p,q\in\Bbb R^2\setminus S$$p\ne q$. Hay $2^\omega$ líneas rectas a través de $p$, por lo que la mayoría de ellos se pierda $S$, y del mismo modo para $q$. Por lo tanto, no son líneas rectas a través de $p$ $q$ que se pierda $S$ y se cruzan.