Juego de cartas de cuadrículas variables vs. quad solo. ¿Quién tiene la ventaja?

Question

$2$ personas deciden contar gana en un juego de cartas de uso de un bien revueltos estándar $52$ cartas de la baraja. De la comunidad (compartido) se dibujan las tarjetas de una en una desde la cubierta sin sustitución, hasta que haya un ganador de una mano. Las reglas son Un jugador al principio puede ganar si $4$ triples aparecen (como $KKK,444,AAA,777$). El jugador B gana si una sola quad aparece (como $QQQQ$). Tan pronto como hay un ganador, que acabe la mano, la victoria se la adjudicó, todas las cartas se devuelve a la baraja, las cartas son barajadas bien, y la siguiente mano será dibujado. Hay un giro sin embargo. Si B gana una mano, a continuación, siguiente mano será inferior a ganar umbral de A. Por ejemplo, inicialmente la victoria umbral para Un es $4$ triples. Sin embargo, si B gana la primera mano, a continuación, el nuevo umbral de $3$ triples. Por el contrario, cada vez que gana, Un umbral será mayor, por $1$. Así, por ejemplo, si Una gana la primera mano, Un nuevo ganar el umbral de $5$ triples para ganar. El nº mínimo exigido de triples es $1$. No más de $39$ tarjetas siempre se necesita para ser dibujados para determinar un ganador, ya que incluso si $13$ triples son necesarios, el $39$th tarjeta de garantía de un ganador, pero es probable que un quad habría aparecido manera antes de entonces.

Tenga en cuenta que los triples y cuádruples no necesitan estar en cualquier orden. Por ejemplo, $Q,2,Q,4,Q,7,A,10,Q$ es un quad. El requisito es no $4$ como los rangos en una fila, sin embargo, que también es un quad, pero muy raro.

Estoy pensando desde la dificultad de ganar es variable de acuerdo en que gana la mano anterior(s), este debe de llegar a algún tipo de equilibrio en el que es la misma probabilidad para cada uno para ganar en el longrun pero, ¿cómo puedo mostrar este matemáticamente?

Me encontré con una simulación por ordenador y parece que mi hipótesis inicial es correcto. Parece igualmente probable que la probabilidad de a o B para ganar en promedio. Incluso con tan pocos como $10$ ensayos ($10$ manos ganadoras), estoy viendo en su mayoría $5$ victorias para cada uno, pero a veces $4$ vs $6$ pero no he conseguido ver $3$ vs $7$, pero por lo que parece acertar equilibrio MUY rápidamente. Dado que el número de ensayos necesarios (wins) es tan bajo, probablemente, usted puede probar esta con una baraja de cartas y confirmar que es acerca de $50/50$ con tan pocos como $10$ manos ganadoras. Sólo recuerde que la actualización de la ganancia umbral de Una forma adecuada (por ejemplo, $4, 5, 4, 3$...). A diferencia de la feria del lanzamiento de la moneda, donde $8$, $9$, o, incluso, $10$ jefes son posibles, parece casi imposible que eso suceda con este tipo de "auto ajuste" del juego.

Así que, ¿cómo puede ser demostrado matemáticamente que este tipo de juego se alcance el equilibrio en donde el jugador tiene aproximadamente la misma oportunidad de ganar la general?

Si vas a hacer una simulación por ordenador de este, es algo increíble cómo muchas de las veces va a llegar exactamente a la mitad y mitad. Por ejemplo, si me quedo $1000$ decisiones, normalmente me $500$ a gana e $500$ B gana. Es muy constante (aunque estoy utilizando diferentes números aleatorios de cada ejecución). Esta es la FORMA más predecible que algo como la feria de la moneda para decidir lo que podría llegar a un "rocky" de inicio. Creo que se puede llamar a este tipo de juego de "auto ajuste" en que se llegará a un "justo equilibrio" muy rápidamente.

Esto parece un problema difícil de estado matemáticamente así que me puse una recompensa de $100$ puntos en ella como un incentivo extra para aquellos de ustedes que quieren tratar de resolverlo. Si $2$ diferentes usuarios enviar buenas respuestas, a continuación, lo que suele hacer es dar a una persona la marca de verificación y el otro que la recompensa sea más justa para ambos. La buena suerte.

Answer 1

Mi programa de simulación por ordenador es bastante simple. Simplemente dibuja tarjetas al azar (sin reemplazo) y empieza a buscar un ganador después de $3$ tarjetas son dibujados. Yo uso un contador de la matriz de la $13$ rangos posibles de hacer determinar cuántos de cada rango que tengo en cualquier momento (después de $3$ tarjetas son dibujados) luego me echa para triples o cuádruples. Es interesante para mí que incluso con $1$ millones simulados de manos, la ganancia máxima umbral de Un nunca parece exceder $10$ (triples). Así que eso significaría que hay un ganador a más tardar el $36$ tarjeta con un dibujo ya que se habría de obtener todas las filas dos veces (es $26$ tarjetas), a continuación, obtener $10$ más filas de decisiones $10$ triples. Por supuesto, es MUCHO más probable conseguir un único quad manera antes de entonces.

Aquí hay alguna información interesante que he observado mediante la colocación de cheques/contadores en mi programa y el uso de, al menos, $10,000$ decisiones (gana) y en la mayoría de las $10$ millones de:

$4.32$ : Promedio # de triples necesarios para Un jugador para ganar.
$22.4$ : Promedio de número de cartas al azar para determinar un ganador.
$~~~~~3$ : Número mínimo de cartas al azar para determinar un ganador (obviamente un solo triple).
$~~~36$ : Número máximo de cartas al azar para determinar un ganador.
$21:19$ : porcentaje de victorias vs B gana exactamente $35$ cartas al azar ($5$M gana en total).
acerca de$~1/2$ : Promedio de la diferencia de la mitad de los ganados por el jugador a ($500$K de $1$M por ejemplo).

Si a alguien le gusta otra cheques/cuenta como esta que acabo de preguntar a un voy a tratar de añadir en mi programa y el informe de los resultados aquí.

Este juego parece muy interesante, ya que no es un fijo probabilidad de juego, sino más bien uno que se ajusta a la de hacer que el juego casi muerto, incluso la medida de lo que es probable que gane, en promedio.

$UPDATE~1$ - Tengo algunos datos de $10,000$ decisiones (wins) según lo solicitado por Greg Martin. Voy a expresar aquí como 4 tuplas con el siguiente formato: # de triples durante la victoria, número total de victorias (a o B) con el # de triples, # de veces que se gana con eso muchos triples, # de veces que B gana con que muchos triples. Aquí va:

$~~0,~1197,~~~~~~~0,~1197$
$~~1,~1638,~~~~~70,~1568$
$~~2,~1734,~~~517,~1217$
$~~3,~2055,~1333,~~~722$
$~~4,~1896,~1648,~~~248$
$~~5,~1091,~1045,~~~~~46$
$~~6,~~~326,~~~324,~~~~~~~2$
$~~7,~~~~~60,~~~~~60,~~~~~~~0$
$~~8,~~~~~~~3,~~~~~~~3,~~~~~~~0$

$9,10,11,12$, e $13$ triples no se muestran en esta tabla porque yo sólo tenía $10,000$ gana (según lo solicitado por Greg Martin). Puedo correr toda la noche y consigue $100$ millones de ($100$M) y crear una 2 ª (nueva) de la tabla. Me gustaría que alguien más para simular este en el equipo para asegurarse de mis números son correctos.

Tengo exactamente $5000$ gana Una y exactamente $5000$ gana por B.

$UPDATE~2$ - El mismo formato que el anterior, pero $100$ millones de decisiones (pasé la noche)

$~~0,~12192310,~~~~~~~~~~~~~~~0,~12192310$
$~~1,~15989527,~~~~~774318,~15215209$
$~~2,~18283188,~~~5534972,~12748216$
$~~3,~20792503,~13787812,~~~7004691$
$~~4,~18536050,~16186199,~~~2349851$
$~~5,~10348991,~~~9904655,~~~~~444336$
$~~6,~~~3265073,~~~3221672,~~~~~~~43401$
$~~7,~~~~~545785,~~~~~543834,~~~~~~~~~1951$
$~~8,~~~~~~~44926,~~~~~~~44890,~~~~~~~~~~~~~36$
$~~9,~~~~~~~~~1624,~~~~~~~~~1624,~~~~~~~~~~~~~~~0$
$10,~~~~~~~~~~~~~23,~~~~~~~~~~~~~23,~~~~~~~~~~~~~~~0$

$11,12$, e $13$ triples no se muestran en la simulación.

Tengo exactamente $50,000,001$ gana Una y exactamente $49,999,999$ gana por B.

$UPDATE~3$ - El mismo formato que el anterior, pero ahora me estoy informando el número de premios en función del número de triples ganar umbral de lugar. $1$ millones de decisiones.

$~~~1,~~~~~7659,~~~~~7659,~~~~~~~~~~~0$
$~~~2,~~~62450,~~~54791,~~~~~7659$
$~~~3,~192509,~137718,~~~54791$
$~~~4,~299898,~162180,~137718$
$~~~5,~261600,~~~99420,~162180$
$~~~6,~131664,~~~32244,~~~99420$
$~~~7,~~~37773,~~~~~5529,~~~32244$
$~~~8,~~~~~5974,~~~~~~~445,~~~~~5529$
$~~~9,~~~~~~~459,~~~~~~~~~14,~~~~~~~445$
$~10,~~~~~~~~~14,~~~~~~~~~~~0,~~~~~~~~~14$
$~11,~~~~~~~~~~~0,~~~~~~~~~~~0,~~~~~~~~~~~0$
$~12,~~~~~~~~~~~0,~~~~~~~~~~~0,~~~~~~~~~~~0$
$~13,~~~~~~~~~~~0,~~~~~~~~~~~0,~~~~~~~~~~~0$
$~14,~~~~~~~~~~~0,~~~~~~~~~~~0,~~~~~~~~~~~0$

Un modelo interesante es el que se muestra aquí. Tomemos $2$ $3$ por ejemplo. El # de triunfos para Un cuando el triunfo de umbral para Un es $2$$54791$, pero que es exactamente el número de triunfos para el B cuando el triunfo de umbral es $3$. Este patrón también es cierto para $1$ y $2$, $3$ y $4$....

El uso de tt como una abreviatura para Una triple victoria de umbral (tt = triple umbral), el real # de triunfos para Un es el mismo como real # de triunfos para el B cuando la transferencia de tecnología es uno de los más altos. Por ejemplo, cuando tt=$4$, tendrán algún número de victorias, llámalo x. Cuando tt=$5$, el mismo número exacto de x aparece como el número de triunfos para el B. tal vez es que siempre gana y tt se golpea, en promedio, B ganará la mano siguiente y por lo tanto hay aún más el equilibrio de equilibrio/de los que yo pensaba. Creo que puede ser la respuesta. Tenga en cuenta que el premio de la victoria antes de actualizar tt valor en el programa de simulación. Así, por ejemplo, si Una gana la primera mano cuando tt=$4$, entonces el contador para el número de victorias cuando tt=$4$ obtendrá incrementa por $1$ y, a continuación, tt conseguir golpeado a a $5$, así que en ese punto, el contador para el número de victorias cuando tt=$5$ seguirá en $0$.

$11,12,13$, e $14$ triple umbral no se muestran en la simulación.

Tengo exactamente $500,000$ gana Una y exactamente $500,000$ gana por B.

$UPDATE~4$ - Traté de $2$ manual de las manos con una baraja de cartas. La primera mano conseguí $4$ triples (5,9,P,7) y $27$ cartas fueron repartidas abarca todas las $13$ filas. La victoria de umbral para el jugador a se $4$ (triples) para que mano. Para los de 2º mano (ya ganó la primera mano), Un triunfo del umbral de entonces fue golpeado hasta $5$. 2ª mano también consiguió $4$ triplica primera, pero debido a que el umbral fue elevado a $5$, el quad apareció antes de la $5$th triple. En que de 2ª mano, sólo $22$ cartas fueron repartidas abarca sólo $10$ filas. Así que mira cómo rápidamente la "ley de los promedios" se llevó a cabo. Sólo $2$ juegos de, conseguí $24.5$ promedio de naipes dibujados y $50/50$ (split) en el que gana. Yo no practique ninguno de los juegos. Ellos fueron los primeros en $2$ he probado con tarjetas reales. Esto me da una mejor apreciación de la rapidez con que una computadora puede simular este tipo de juego. Probable que en el tiempo que me lleva a jugar a $1$ manual de juego, un equipo puede jugar millones, si no miles de millones de juegos.

$UPDATE~5$ - He intentado (para la diversión y para satisfacer mi curiosidad), la alteración de Un triunfo del umbral por $2$ en lugar de por $1$. El dibujo de arriba se mantuvo aquí en que el número de victorias para cuando tt=$2$ es el mismo que el número de triunfos para el B cuando tt=$4$. El único cambio que veo es B es ahora una de las favoritas para ganar en alrededor de $51.3$ $48.7$ % % (si tt comienza a $4$), y, por supuesto, no hay ninguna gana donde tt es impar. Curiosamente, si yo en lugar de cambiar tt (Un triunfo del umbral para el número de triples) para empezar a $3$ en lugar de al $4$, luego vuelve a exactamente $50/50$. Así que al parecer el valor inicial de tt hace una diferencia tan lejos como la imparcialidad del juego que parece algo sorprendente, ya que creo que con miles o incluso millones de manos, no se debe de hacer una diferencia (pero sí). Perdemos la "a horcajadas" efecto (donde $50/50$ es alcanzable), cuando se cumplen ciertas condiciones. Por ejemplo, cuando la transferencia de tecnología es un número par (como $4$) y cambiamos tt por un número (por ejemplo,$2$). Que hace lo que no hay manera de que exista una $50$% de probabilidad para cada jugador para ganar. No sé por qué esto es cierto pero es lo que a mi programa de simulación de la muestra. Tal vez alguien puede explicar por qué.