Definición rigurosa de la variación

Question

Es común en la Física para hablar de la variación en el contexto del cálculo de variaciones. En particular, dada una acción $S$ que es un funcional hablamos de la variación $\delta S$.

En el contexto de la Mecánica Clásica que uno puede hacer sentido de la variacional de la siguiente manera: consideramos que la configuración de colector $M$ del sistema de partículas y consideramos que el Lagrangiano como $L : TM\to \mathbb{R}$ definido en la tangente del paquete.

En ese caso, se define la acción $S$ como los funcionales definidas en los caminos $\gamma : [a,b]\to \mathbb{R}\to M$ por

$$S[\gamma]=\int_a^bL(\gamma(t),\gamma'(t))dt.$$

A continuación, consideramos que una variación en el trazado como una parametrización de la familia de las rutas de $\phi : [a,b]\times (-\epsilon,\epsilon)\to M$, de modo que $\phi(t,s)=\gamma_s(t)$.

En ese caso tenemos una función

$$S[\gamma_s]=\int_a^b L(\phi(t,s),\partial_t\phi(t,s))dt$$

Por lo que podemos estudiar en el extremo de esta $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ función de la diferenciación de

$$\dfrac{dS[\gamma_s]}{ds}=\dfrac{d}{ds}\int_a^bL(\phi(t,s),\partial_t\phi(t,s))dt$$

y esto puede ser resuelto mediante un gráfico de $(U,q)$ $M$ que levanta a un gráfico de $(TU,(q,\dot{q}))$$TM$.

Aunque riguroso esto no define la variación de la operación. Actualmente estoy estudiando la Relatividad General, y en el contexto de la Clásica Teoría de Campo de esta variación concepto apareció un montón.

De hecho, al derivar las ecuaciones de Einstein de la acción de Einstein-Hilbert uno calcula el variaton $\delta S$ y establece a cero. Esto incluye computing $\delta R_{ab}$ por ejemplo.

En otras palabras, esta variación operación actúa sobre la acción funcional, de modo que el principio variacional se convierte en $\delta S = 0$, sin embargo también actúa en $C^\infty$ función en el colector como $\delta R_{ab}$.

Mi pregunta aquí es: en este contexto de la Relatividad General Clásica y la Teoría de Campo, ¿cómo hace uno para rigurosamente definir la variación de operación $\delta$? ¿Cómo puede actuar tanto en funcionales y funciones? Cómo se relaciona con el enfoque tradicional de la Mecánica Clásica que he descrito?

Answer 1

El usuario de coco fue más rápido (y más corto), por lo que puede responder a objetivos más bien a ampliar un poco sobre los aspectos técnicos de cálculo de variaciones (local) clásica teoría de campo.

Un libro de física que hace un trabajo bastante bueno en la definición de la variación de una acción funcional para el campo de la teoría de la Relatividad General por Robert M. Wald (University of Chicago Press, 1984) - véase el Apéndice E, p 450ff. Sin embargo, dado que todavía deja un par de detalles técnicos aparte, voy a describir el procedimiento a continuación.

La idea es esencialmente el mismo que escribió para la mecánica clásica. Uno entiende configuraciones del campo (entre estos, el tiempo-espacio métrico $g$) como secciones suaves $$\phi\in\Gamma^\infty(\pi):=\{\phi\in\mathscr{C}^\infty(M,E)\ |\ \pi\circ\phi=\mathrm{id}_M\}$$ of some fiber bundle $\pi:E\rightarrow M$ over the space-time manifold $M$. (Finite) field variations are then just smooth maps $\Phi:M\times I\rightarrow E$, where $I\subconjunto\mathbb{R}$ is an open interval, such that $$\phi_s:=\Phi(\cdot,s)\in\Gamma^\infty(\pi)$$ for all $s\I$. The latter means that $\phi_s(p)=\Phi(p,s)\in\pi^{-1}(p)$ for all $p\in M$, $s\I$ - particularly, if (say) $0\I$ and $\phi_0=\phi$, then an infinitesimal field variation around $\phi$ would be given at each $p\in M$ by $\delta\phi(p)=\left.\dfrac{\parcial\Phi(p,s)}{\partial s}\right|_{s=0}$. It follows that $\delta\phi$ may be seen as a smooth section of the pullback $$\phi^*VE:=\{(p,X)\in M\times VE\ |\ \phi(p)=\pi_{TE}(X)\}$$ of the vertical bundle $$\pi_{TE}:VE:=\{X\in TE\ |\ T\pi(X)=0_{TM}\}\rightarrow E$$ under $\phi$, which may be seen as a "tangent vector" to $\Gamma^\infty(\pi)$ at $\phi$. Conversely, if you put a (complete) Riemannian metric on the fibers of $E$, usted puede utilizar el mapa exponencial asociada a ellos para construir un campo de variación de un infinitesimal.

Esto es más o menos la imagen de $\Gamma^\infty(\pi)$ como un infinito-dimensional colector (hay un par de advertencias que se discuten brevemente en el apéndice al final de esta respuesta, pero estos no tienen ninguna consecuencia en lo que sigue).

Para pasar de allí a la acción de las variaciones, primero se debe detallar lo que una acción funcional. Recordemos que un funcional en $\Gamma^\infty(\pi)$ es sólo un mapa de $F:\Gamma^\infty(\pi)\rightarrow\mathbb{C}$. Resulta que una acción no es solo funcional, sino una familia de funcionales $\{S_K\ |K\subset M\text{ compact}\}$ tal que $S_K(\phi_1)=S_K(\phi_2)$ todos los $\phi_1,\phi_2\in\Gamma^\infty(\pi)$ tal que $\phi_1=\phi_2$$K$. El punto aquí es para dar cuenta de la (se encuentran con mayor frecuencia) posibilidad de que el Lagrangiano de la densidad evaluados en $\phi$ no es integrable sobre el conjunto de la $M$. Si uno requiere, además, que cada una de las $S_K$ es local y depende de los derivados de la $\phi$ hasta fin de (digamos) $r$ (en un sentido preciso de que no voy a definir aquí), se sigue que $$S_K(\phi)=\int_K L(p,\phi(p),\nabla\phi(p),\ldots,\nabla^r\phi(p))\mathrm{d}^n x\ ,$$ where the Lagrangian density $L$ is smooth on its arguments (we also require that $L$ does not depend on $K$, of course - this can be encoded into compatibility conditions among the $S_K$'s, cuyos detalles son irrelevantes para nosotros aquí).

Estoy siendo deliberadamente flojo en la definición de (de primera y de orden superior) derivados $\nabla^k\phi$ de secciones suaves $\phi$ $\pi$ (que codifican, en el caso de $\phi=g$, la curvatura de $g$ y así sucesivamente), ya que esto requiere de la noción de jet paquetes de $\pi$, que es un poco largo y se nos desvían de nuestro objetivo principal aquí (me pueden agregar un par de detalles sobre esto más adelante si siente que es necesario hacerlo). Una vez que todo esto ha sido establecido, el (finito) variación de $S_K$ correspondiente a $\Phi$ es sólo $S_K(\phi_s)$, y la correspondiente variación infinitesimal es sólo $$\delta S_K(\phi)=\left.\dfrac{d}{ds}\right|_{s=0}S_K(\phi_s)\ .$$ En este punto, este se convierte en estándar de diferenciación bajo el signo integral, lo cual es perfectamente permitido en virtud de los requisitos anteriores.

Un paso clave en el cómputo de las $\delta S_K(\phi)$ es mostrar que la fibra y la base de derivados de conmutan, es decir,$$\dfrac{\partial\nabla^k\Phi(p,s)}{\partial s}=\nabla^k \dfrac{\partial\Phi(p,s)}{\partial s}\ ,$$ so that $\ nabla^k(\delta\phi)=\delta(\nabla^k\phi)$, for all $k\leq r$. In this way, you get the usual divergence terms which appear in standard treatments of calculus of variations. To get rid of those (when deriving the Euler-Lagrange equations, for instance), one may assume that the infinitesimal field variations are supported in the interior of $K$ (véase el apéndice técnico para más información sobre esto) cuando sea necesario.

Es importante notar que el variacional como se expuso anteriormente es inherentemente local, de modo que las anteriores consideraciones son en realidad independientes de $K$.

(Apéndice técnico: si usted quiere tener algún tipo de fluido del colector de estructura en $\Gamma^\infty(\pi)$, deberá especificar el modelo de espacio vectorial(s) que usted está utilizando. Resulta que usted necesita para utilizar $$\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M):=\{X_\phi\in\Gamma^\infty(\phi^*VE\rightarrow M)\ |\ X_\phi\text{ has compact support}\}$$ as models, otherwise the resulting topology of $\Gamma^\infty(\pi)$ (using the exponential maps mentioned in the second paragraph above to build an atlas) is not guaranteed to be locally pathwise connected (this may fail if $M$ is not compact), hence not a manifold topology. This entails that one should restrict field variations $\Phi$ to be such that for each compact (= closed and bounded) subinterval $J\subconjunto I$ there is a compact subset $K\subconjunto de M$ such that $\Phi(p,s)$ is constant on $(M\smallsetminus K)\times J$. The reason is that with the aforementioned atlas, these field variations become precisely the smooth curves of $\Gamma^\infty(\pi)$, and hence $\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)=T_\phi\Gamma^\infty(\pi)$ becomes the tangent space (without quotes) to $\Gamma^\infty(\pi)$ at $\phi$. Interestingly enough, these are precisely the kind of field variations needed to derive the Euler-Lagrange equations, which lends an additional weight to their importance which goes beyond the mere aesthetical requirement of consistency with a manifold structure on $\Gamma^\infty(\pi)$. Another technical detail is that if you use the standard (inductive limit) locally convex vector space topology of $\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)$ to induce the topology of $\Gamma^\infty(\pi)$ through the above atlas, you get a topological manifold structure (which, by the way, is the so-called Whitney topology on $\Gamma^\infty(\pi)$) but not a smooth one. For the latter, you need to use the final topology induced by the smooth curves $$\Xi:\mathbb{R}\rightarrow\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)$$ on $\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)$, which is finer than its standard one. The smooth curves $\Xi$ on $\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)$, on their turn, are smooth maps $\Xi:M\times I\rightarrow E$, where $I\subconjunto\mathbb{R}$ is an open interval, such that $$X_s:=\Xi(\cdot,s)\in\Gamma^\infty_c(\phi^*VE\rightarrow M)$$ for all $s\I$ such that for each compact subinterval $J\subconjunto I$ there is a compact subset $K\subconjunto de M$ such that the support of $X_s$ is contained in $K$ for all $s\J$. (recall that the support of a section $X$ of a vector bundle over $M$ is the smallest closed subset $\mathrm{supp}\,X$ of $M$ such that $X$ equals the zero section outside $\mathrm{supp}\,X$) Para los (muchos) más detalles sobre el procedimiento que se describe aquí, ver el libro de Andreas Kriegl y Peter W. Michor, El Cómodo Ajuste de Análisis Global (AMS, 1997))

Answer 2

Una definición puede darse por contacto directo de la generalización de la uno a la pregunta. Tomar el espacio de los campos a ser el espacio de $C^\infty(X, M)$ suave de funciones entre los dos colectores. Para cualquier liso funcional $S:C^\infty(X, M)\to\mathbb{R}$ y cualquier familia de un parámetro de campos de $h:\mathbb{R}\times X\to M$ podemos definir una función de $f_{S,h}\in C^\infty(\mathbb{R})$$f_{S,h}(t) = S(h_t)$. La variación $\delta S$ es el diferencial de $df_{S,h}$ de este mapa.

En el caso de la mecánica, estamos especializados esta definición para $X=[a,b]$. En la relatividad general, $X$ es el espacio-tiempo. $R_{\mu\nu}$ debe entenderse en este contexto como la función sobre el colector que asigna a cualquier punto de $x\in X$ funcional $R_{\mu\nu}(x)$ de la métrica.